Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-S

1. Phân thức hữu tỷ sơ cấp: New Update

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: \dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức. Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) (degP(x) < degQ(x)).

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

1. \dfrac{A}{{x - a}}

2. \dfrac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}},m \ge 1,m \in Z

3. \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + px + q}}, tam thức bậc hai x 2 + px + q không có nghiệm thực

4. \dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}},n \ge 1,n \in Z, x2 + px + q không có nghiệm thực. Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Tích phân phân thức hữu tỷ sơ cấp:

2.1 Ta xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên:

1. \int \dfrac{A}{x-a}dx = A.ln \left| {x-a}\right| + C

2. \int \dfrac{A}{(x-a)^m}dx = \dfrac{A}{1-m} \dfrac{1}{(x-a)^{m-1}} + C

3. \dfrac{A}{2}\ln ({x^2} + px + q) + \dfrac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}arctan\dfrac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }} + C

2.2 Ví dụ 1: Tính \int {\dfrac{{x + 1}}{{2{x^2} + 2x + 5}}dx}

Ta có:

\int\dfrac{x+1}{2x^2+2x+5}\, dx = \int\dfrac{ \dfrac{1}{4}(4x+2) + \dfrac{1}{2}}{2x^2+2x+5} \, dx = \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{(4x+2)dx}{2x^2+2x+5} + \dfrac{1}{2}. \int\dfrac{dx}{2x^2+2x+5}

= \dfrac{1}{4} ln (2x^2+2x+5) + \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{dx}{ \left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2}

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{4}\dfrac{2}{3}\arctan \left( {\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right) + C

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{6}\arctan \left( {\dfrac{{2x + 1}}{3}} \right) + C

Ví dụ 2: Tính tích phân: \int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:

\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Hay:

{ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctan{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C

2.3 Tích phân dạng 4:

2.3.1 Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại 4: \int {\dfrac{{dt}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

I_n = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n} = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^n} \, dt = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2} \int\dfrac{t^2dt}{(t^2+a^2)^n}

= \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} - \dfrac{1}{2a^2}. \int\dfrac{td(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho \int {\dfrac{{td({t^2} + {a^2})}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

Đặt u = t ; dv = \dfrac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n} . Khi đó:

I_n = \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} + \dfrac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2(n-1)} \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} \\ = \dfrac{1}{2a^2(n-1)}. \dfrac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}} + \dfrac{1}{a^2}. \dfrac{2n-3}{2n-2}.I_{n-1}

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + {a^2}}}}

Ghi chú: Tích phân dạng trên, ta có thể chuyển về tích phân hàm lượng giác bằng cách đặt t = a.tanu

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{dx}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}

Áp dụng công thức trên với n = 3 và a = 1. Ta có:

I_3 = \dfrac{1}{2.1.2} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{1}{1} \dfrac{2.3-3}{2.3-2}I_2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{4} \left( {\dfrac{1}{2.1.1}\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{2.2-3}{2.2-2}I_1} \right)

Từ đó:

I_3 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{3}{8}arctanx + C

Do: I_1 = \int\dfrac{dx}{x^2+1} = arctanx + C

2.3.2 Tích phân dạng 4:

Cần tính \int {\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}}} dx, \dfrac{{{p^2}}}{4} - q < 0

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

\int\dfrac{\dfrac{A}{2}(2x+p)+ \left( {B - \dfrac{Ap}{2}} \right)}{(x^2+px+q)^n}\,dx = \dfrac{A}{2}. \int\dfrac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+ \left( {B-\dfrac{Ap}{2}} \right) \int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^2}

Như vậy, tích phân cần tính được tách thành 2 tích phân, trong đó:

– Dễ dàng tính tích phân thứ nhất.

– Với tích phân thứ hai:

\int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\dfrac{dx}{ \left[ { \left( {x+\dfrac{p}{2}} \right)^2 + \left( {q-\dfrac{p^2}{4}} \right)} \right]^n} = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}

Với t = x + \dfrac{p}{2} ; a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} (do p2 – 4q < 0)

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{3x + 2}}{{{{({x^2} + 2x + 10)}^2}}}dx}

Trang: 1 2 3

Thảo luận

51 bình luận về “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)”

  1. Thầy giúp em giải bài này : tích phân từ 0 đến 1 của (2x+1)/(x^2-4x+4)dx

    Thích

    Posted by thư | 06/05/2014, 07:26
    Reply to this comment

  2. Thay oj gjup e gjaj tich phan nay dx/(x^2 -2x+ 2012)

    Thích

    Posted by Hoang anh | 17/09/2012, 12:01
    Reply to this comment

  3. Cám ơn Thầy rất nhiều !

    Thích

    Posted by nguyentuminh | 22/06/2012, 00:14
    Reply to this comment

  4. thay giup em tinh tich phan (x-1)/(x^2(x^2-1) voi!em cam on thay!

    Thích

    Posted by thien tung | 27/05/2012, 21:15
    Reply to this comment

  5. Thầy tính dùm em bài nguyên hàm \dfrac{1}{x^8+1} với. Có cách nào hay ko mà em làm dài quá

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by linhlinhlinh | 22/05/2011, 10:47
    Reply to this comment

  6. Thầy ơi! Bài tập này phải giải sao đây! Tính tích phân (x^2-8x+7)/(x^2-2x-10)^2. Em làm hoài mà nó không ra được! Em cảm ơn!

    Thích

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 04/01/2011, 19:23
    Reply to this comment

  7. Your RSS feed doesn’t work in my browser (google chrome) how can I fix it?

    -Bruno

    Thích

    Posted by bruno mars | 06/05/2010, 08:11
    Reply to this comment

  8. Thầy ơi, giúp em với. Tính tích phân bất định của x^4/(x^4+5x^2+4). Em cảm ơn thầy.!

    Thích

    Posted by Doremon | 19/03/2010, 00:46
    Reply to this comment

  9. Wow,super site here!

    Thích

    Posted by new years eve san francisco 2010 | 19/12/2009, 01:22
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…