Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-S

1. Phân thức hữu tỷ sơ cấp: New Update

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: \dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức. Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) (degP(x) < degQ(x)).

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

1. \dfrac{A}{{x - a}}

2. \dfrac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}},m \ge 1,m \in Z

3. \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + px + q}}, tam thức bậc hai x 2 + px + q không có nghiệm thực

4. \dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}},n \ge 1,n \in Z, x2 + px + q không có nghiệm thực. Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Tích phân phân thức hữu tỷ sơ cấp:

2.1 Ta xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên:

1. \int \dfrac{A}{x-a}dx = A.ln \left| {x-a}\right| + C

2. \int \dfrac{A}{(x-a)^m}dx = \dfrac{A}{1-m} \dfrac{1}{(x-a)^{m-1}} + C

3. \dfrac{A}{2}\ln ({x^2} + px + q) + \dfrac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}arctan\dfrac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }} + C

2.2 Ví dụ 1: Tính \int {\dfrac{{x + 1}}{{2{x^2} + 2x + 5}}dx}

Ta có:

\int\dfrac{x+1}{2x^2+2x+5}\, dx = \int\dfrac{ \dfrac{1}{4}(4x+2) + \dfrac{1}{2}}{2x^2+2x+5} \, dx = \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{(4x+2)dx}{2x^2+2x+5} + \dfrac{1}{2}. \int\dfrac{dx}{2x^2+2x+5}

= \dfrac{1}{4} ln (2x^2+2x+5) + \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{dx}{ \left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2}

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{4}\dfrac{2}{3}\arctan \left( {\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right) + C

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{6}\arctan \left( {\dfrac{{2x + 1}}{3}} \right) + C

Ví dụ 2: Tính tích phân: \int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:

\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Hay:

{ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctan{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C

2.3 Tích phân dạng 4:

2.3.1 Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại 4: \int {\dfrac{{dt}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

I_n = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n} = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^n} \, dt = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2} \int\dfrac{t^2dt}{(t^2+a^2)^n}

= \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} - \dfrac{1}{2a^2}. \int\dfrac{td(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho \int {\dfrac{{td({t^2} + {a^2})}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

Đặt u = t ; dv = \dfrac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n} . Khi đó:

I_n = \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} + \dfrac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2(n-1)} \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} \\ = \dfrac{1}{2a^2(n-1)}. \dfrac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}} + \dfrac{1}{a^2}. \dfrac{2n-3}{2n-2}.I_{n-1}

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + {a^2}}}}

Ghi chú: Tích phân dạng trên, ta có thể chuyển về tích phân hàm lượng giác bằng cách đặt t = a.tanu

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{dx}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}

Áp dụng công thức trên với n = 3 và a = 1. Ta có:

I_3 = \dfrac{1}{2.1.2} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{1}{1} \dfrac{2.3-3}{2.3-2}I_2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{4} \left( {\dfrac{1}{2.1.1}\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{2.2-3}{2.2-2}I_1} \right)

Từ đó:

I_3 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{3}{8}arctanx + C

Do: I_1 = \int\dfrac{dx}{x^2+1} = arctanx + C

2.3.2 Tích phân dạng 4:

Cần tính \int {\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}}} dx, \dfrac{{{p^2}}}{4} - q < 0

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

\int\dfrac{\dfrac{A}{2}(2x+p)+ \left( {B - \dfrac{Ap}{2}} \right)}{(x^2+px+q)^n}\,dx = \dfrac{A}{2}. \int\dfrac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+ \left( {B-\dfrac{Ap}{2}} \right) \int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^2}

Như vậy, tích phân cần tính được tách thành 2 tích phân, trong đó:

– Dễ dàng tính tích phân thứ nhất.

– Với tích phân thứ hai:

\int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\dfrac{dx}{ \left[ { \left( {x+\dfrac{p}{2}} \right)^2 + \left( {q-\dfrac{p^2}{4}} \right)} \right]^n} = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}

Với t = x + \dfrac{p}{2} ; a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} (do p2 – 4q < 0)

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{3x + 2}}{{{{({x^2} + 2x + 10)}^2}}}dx}

Thảo luận

51 thoughts on “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

  1. Thầy giúp em giải bài này : tích phân từ 0 đến 1 của (2x+1)/(x^2-4x+4)dx

    Like

    Posted by thư | 06/05/2014, 07:26
  2. Thay oj gjup e gjaj tich phan nay dx/(x^2 -2x+ 2012)

    Like

    Posted by Hoang anh | 17/09/2012, 12:01
  3. Cám ơn Thầy rất nhiều !

    Like

    Posted by nguyentuminh | 22/06/2012, 00:14
  4. thay giup em tinh tich phan (x-1)/(x^2(x^2-1) voi!em cam on thay!

    Like

    Posted by thien tung | 27/05/2012, 21:15
  5. Thầy tính dùm em bài nguyên hàm \dfrac{1}{x^8+1} với. Có cách nào hay ko mà em làm dài quá

    Like

    Posted by linhlinhlinh | 22/05/2011, 10:47
  6. Thầy ơi! Bài tập này phải giải sao đây! Tính tích phân (x^2-8x+7)/(x^2-2x-10)^2. Em làm hoài mà nó không ra được! Em cảm ơn!

    Like

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 04/01/2011, 19:23
  7. Your RSS feed doesn’t work in my browser (google chrome) how can I fix it?

    -Bruno

    Like

    Posted by bruno mars | 06/05/2010, 08:11
  8. Thầy ơi, giúp em với. Tính tích phân bất định của x^4/(x^4+5x^2+4). Em cảm ơn thầy.!

    Like

    Posted by Doremon | 19/03/2010, 00:46
  9. Wow,super site here!

    Like

    Posted by new years eve san francisco 2010 | 19/12/2009, 01:22

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 715 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: