I. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi.

Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường thẳng từ B đến C được tính bởi công thức:

, với (1.1)

Hay ta có: (tích vô hướng giữa vectơ F và vectơ BC).

Bây giờ, bài toán đặt ra là cần tính công A của một lực tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường cong từ B đến C.

Lực biến thiên liên tục dọc theo cung BC và có thành phần theo phương ngang (hình chiếu xuống trục Ox) là P(x,y) và thành phần theo phương đứng (hình chiếu xuống trục Oy) là Q(x,y) (chúng là những hàm số liên tục trên cung BC). Ta có:

(1.2)

trong đó là các vectơ đơn vị trên hai trục Ox và Oy.

Chia cung BC 1 cách tùy ý thành n cung nhỏ bởi các điểm chia có các độ dài tương ứng là .

Xét cung nhỏ thứ i: .

Trên cung đó, vì độ dài khá bé nên có thể xem như cung trùng với đoạn thẳng và chất điểm M coi như chuyển động thẳng trên cung này. Ngoài ra, có thể xem như lực không đổi và bằng với là 1 điểm tùy ý trên cung thứ i. Do đó, công của lực F tạo nên khi chất điểm M chuyển động dọc theo cung gần đúng bằng:

(1.3)

trong đó và , , là các hình chiếu của xuống hai trục Ox và Oy. Do đó, công A của lực F tạo nên khi chất điểm chuyển động dọc theo cung phẳng từ B đến C được tính gần đúng bằng:

(1.4)

Khi tăng số phần chia n lên sao cho các cung càng nhỏ lại thì sự sai biệt giữa An và A càng bé. Do đó, hiển nhiên công A do lực tạo ra được xem là giới hạn của An khi sao cho . Vậy:

Hay: (1.5)

II. Tích phân đường loại 2:

1. Định nghĩa tích phân đường loại 2:

Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung thuộc mặt phẳng (Oxy).

Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung BC và cách chọn điểm trên mỗi cung nhỏ thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung BC và được ký hiệu là:

2. Khái niệm cung trơn:

Giả sử cung có phương trình

Cung được gọi là cung trơn nếu tồn tại các đạo hàm liên tục và không đồng thời bằng 0.

Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các cung trơn.

3. Định lý tồn tại:

Nếu các hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa cung trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB.

(ta công nhận kết quả này)

4. Tính chất:

1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các hình chiếu của vectơ lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó:

2. Nếu P, Q khả tích trên cung AB và được chia thành 2 cung thì P, Q cũng khả tích trên 2 cung đó và khi ấy ta có:

3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định.

Chú ý:

– Trong trường hợp cung là đường cong kín L (điểm đầu trùng điểm cuối), ta có 2 hướng đi dọc theo cung đường cong kín trên. Khi đó, L là biên giới hạn của miền kín D, ta quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho 1 người đi  dọc trên biên sẽ thấy miền giới hạn D nằm về phía tay trái. Hướng ngược lại là hướng âm.

Trong trường hợp miền D là miền đơn liên, thì chiều dương chính là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Khi đó, ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là:

– Trong vật lý, thường ta hay gọi tích phân đường loại 2 là tích phân công và ký hiệu , trong đó và

5. Cách tính (tính trực tiếp):

Để tính tích phân đường ta đưa về tích phân xác định (tích phân 1 biến).

Giả sử là cung trơn, các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên . Ta có các trường hợp sau:

Th1: cung AB có phương trình tổng quát: . Điểm A ứng với , điểm B ứng với .

Khi đó, ta có công thức sau:

Th2: cung AB có phương trình tổng quát: . Điểm A ứng với , điểm B ứng với .

Khi đó, ta có công thức sau:

Th3: cung AB có phương trình tham số: . Điểm A ứng với , điểm B ứng với .

Khi đó, ta có công thức sau:

Nhận xét: Từ 3 trường hợp trên, nếu cung AB không có cùng 1 phương trình đường cong khi đi từ A đến B thì ta phải chia nhỏ cung AB thành các cung sao cho trên mỗi cung có cùng 1 pt đường cong.