Chuỗi Fourier

1. Các kết quả:

Biểu thức Toán học:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx))}  (1)

được gọi là chuỗi Fourier nếu (1) hội tụ.

1.1 Định nghĩa. Một đa thức Fourier là biểu thức có dạng:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx)).}

Các hệ số a0, aibi, i = 1,2,…, n, được gọi là hệ số của Fn(x).

Đa thức Fourier là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản ta có:

img6.gif

Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau:
(1) Với n ≥ 0, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)} \, dx = 0

(2) Với mọi m , n ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(3) Với n ≠ m, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).cos(mx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(4) Với n ≥ 1, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx)} \, dx = \pi \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(nx)} \, dx = \pi

Sử dụng các công thức trên, chúng ta có kết quả sau:

1.2 Định lý: Cho

F_n(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).}

Ta có:

img16.gif

Định lý trên giúp ta có thể tìm được hệ số Fourier của các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π.


2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Định nghĩa. Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π và khả tích trên đoạn [- π ; π]. Đặt:

img18.gif

Khi đó, chuỗi lượng giác:

a_0 + \sum {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

được gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) tương ứng. Ký hiệu:

F_n(x) \sim a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

Thảo luận

28 thoughts on “Chuỗi Fourier

  1. Thầy giúp e 2 bài này với.
    Khai triển ham f(x) tuân hoàn chu ky 2pi thành chuỗi Florida.
    a. f(x)=sinax, -pi<x<pi, a#k
    b. f(x)=(pin-x)/2, 0<x<2.

    Like

    Posted by Khoa | 27/01/2015, 10:54
  2. khai triển chuỗi Furie của hàm F(x)=x^2 (-pi,pi)
    thầy giúp em bài này với! e cảm ơn thầy nhiều!!

    Like

    Posted by bmthanh1181995 | 19/02/2014, 11:45
  3. khai triển thành chuỗi fourier chu kì 2pi;
    f(x)=|X^3| trên [-pi;pi];
    thầy hướng dẫn em cách làm bai này với!!! thầy có thể vẽ đồ thị bài này cho em được ko ạ?? em cám ơn thây!!!

    Like

    Posted by nho_pro | 23/05/2011, 22:03
    • Em phá bỏ trị tuyệt đối, khi đó:
      f(x) = \left\{\begin{array}{cc} -x^3 & ; [-\pi;0] \\ x^3 & ; [0; \pi] \\ \end{array} \right.
      Sau đó, ráp công thức hàm f(x) vào công thức khai triển.
      Ngoài ra, nếu em chú ý đến tính chất chẵn, lẻ của hàm f(x) thì em sẽ có b_k = 0 , \forall k = 1, 2,..., n

      Like

      Posted by 2Bo02B | 26/05/2011, 22:27
  4. E cảm ơn bài giảng của thầy. Nhờ nó mà e đã hiểu!!!!! Cảm ơn thầy rất nhiều!

    Like

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 13/01/2011, 11:17
  5. Hello Sir,

    Thanks for uploading the Fourier Problem set.
    I was going through the problem set – thunhan.files.wordpress.com/2007/10/problemsfourier.pdf.

    In the following problem Problem 1 (g) I think the asnwer is 2*pi.

    Here is my understanding.

    x(t) = 5*Cos(3*x) + 2*Cos(2*x)
    Fundamental Period of 5*Cos(3*x) is T1 = 2*pi/3.
    Fundamental Period of 2*Cos(2*x) is T2 = pi

    Hence the Fundamental Period of x(t) is LCM (T1, T2) = T1*m = T2*k.
    where m and k are smallest possible integers so as to make LCM a integer.

    (2*pi/3)*m = pi*k

    Hence m is 3 and k is 2.

    LCM is 2*pi.

    Logically also period of 3 fundamental wave of 1st wave = period of 2 fundamentel wave of 2nd wave.


    – Harish
    Be exhilarated forever

    Like

    Posted by harish kalghatgi | 04/09/2010, 10:38
  6. Thầy ơi, nếu khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier trên (0, 2Pi) thì em phải làm thế nào ạ?

    Like

    Posted by Anh Tran | 02/11/2009, 18:13

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 715 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: