Đạo hàm riêng

I. Đạo hàm riêng cấp một:

Cho z = f(x,y) là hàm theo hai biến số độc lập x, y.

Bây giờ, ta cố định giá trị của biến số y (cho y là hằng số).

Như vậy, ta sẽ có hàm số theo 1 biến số x. Ta xem xét sự thay đổi của hàm số mới này theo biến số x.

Giả sử rằng hàm số z = f(x,y) (coi y là hằng số) có đạo hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này sẽ là:

$\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}}$

Ta ký hiệu giới hạn trên là $f_{x}^{'}(x,y)$ , trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằng đạo hàm được lấy theo biến x khi cố định biến y. Và gọi là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x.

Vậy: chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại điểm (x₀, y₀) như là đạo hàm thường của hàm f(x, y₀) tại điểm x = x₀

I.1 Định nghĩa:

Đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = f(x, y) tại điểm (x₀, y₀) là giới hạn (nếu có)

$\lim\limits_{\Delta x \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}$

và được ký hiệu là $f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) , z_{x}^{'}(x_{0},y_{0}), { \dfrac{ \partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}) , { \dfrac{ \partial z}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ đọc là “del f del x” “del z del x”.

Rõ ràng ta có:

${ \dfrac{ {\partial} f}{{\partial}x}}(x_{0},y_{0}) = { \dfrac{d}{dx}}f(x, y_{0})|_{x=x_{0}}$

Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến số y:

${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0}) = \lim\limits_{{\Delta}y \to 0 } { \dfrac{f(x_{0} , y_{0} + {\Delta}y) - f(x_{0},y_{0})}{{\Delta}y}}$

Nhận xét:

1. Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu $\partial$ thay cho ký hiệu $d$ (vốn dùng để ký hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm 1 biến)

2 . Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng số và lấy đạo hàm như hàm số 1 biến số x.

3 . Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng.

4. Trong thực hành, để tính ${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0})$ , dựa vào định nghĩa, ta có hai cách:

Cách 1: tìm ${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}$ , suy ra ${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0})$ ( trong trường hợp hàm số ${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}$ xác định tại (x₀, y₀).
Cách 2: Theo định nghĩa, Lập hàm $f(x, y_{0})$ tìm ${ \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0})$ , suy ra giá trị ${ \dfrac{d}{dx}}f(x,y_{0})|_{x=x_{0}}$ thì đây chính là giá trị ${ \dfrac{ {\partial}f}{{\partial}y}}(x_{0},y_{0})$

5. Khi hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng theo các biến, vecto có các thành phần lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vecto gradient, ký hiệu

$\overline{grad} f(x,y) {\equiv} ({ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y),{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y))$

Ta còn dùng ký hiệu ${\nabla} f$ thay cho $\overline{grad} f$ . Ta sẽ đề cập chi tiết về grad f trong các phần sau.

II.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1. Tính ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) , \nabla f(1, 1)$ biết $f(x,y) = {sin({\pi}xy^{2})}$

Ta tính các đạo hàm riêng theo 2 cách:

Cách 1:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} = { \dfrac{\partial}{{\partial}x}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}y^{2}.{cos({\pi}xy^{2})}$

Suy ra: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}$

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} = { \dfrac{\partial}{{\partial}y}}(sin({\pi}xy^{2})) = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}$

Do đó: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}$

Cách 2: Tính ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1)$ :

Thay giá trị y = 1, ta nhận được: $f(x,1) = sin{\pi} x$ là hàm theo một biến (biến x). Lúc này:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,1) = (sin{\pi}x)^{'} = {\pi}cos{\pi}x$

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(1,1) = {\pi}.{cos({\pi})} = - {\pi}$

tương tự: $f(1, y) = sin{\pi}y^{2}$ là hàm theo một biến y và

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,y) = (sin{\pi}y^{2})^{'} = {\pi}x.2y.{cos({\pi}xy^{2})}$

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(1,1) = 2{\pi}.{cos({\pi})} = - 2{\pi}$

Cả hai cách trên ta có cùng 1 kết quả. Bấy giờ, ta suy ra:

${\nabla}f(1,1) = (-{\pi},-2{\pi})$

Tuy nhiên, để tìm ${\nabla} f$ thì rõ ràng cách 1 là tổng quát hơn, còn cách 2 chỉ có thể tìm được giá trị của đạo hàm tại 1 điểm cụ thể.

Ví dụ 2: Cho hàm $f(x,y) = \left \{ \begin{array}{c c} { \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}} & (x,y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right.$

Tìm ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0)$

Với hàm số f(x,y) này, ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}, { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}$ , rồi suy ra giá trị đạo hàm riêng tại (0,0), vì hai hàm ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x,y) = \dfrac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}, { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x,y) = \dfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$ chỉ xác định với mọi (x,y) khác (0, 0).

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0)$ . Ta có:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{f(0+{\Delta}x,0) - f(0,0)}{{\Delta}x}}} = { \lim\limits_{{\Delta}x{\to}0}{ \dfrac{0}{{\Delta}x}}} = 0$

Tương tự, ta cũng nhận được ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0) = 0$

Nhận xét:

1. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng cách 2 để tìm ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0,0) , { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0,0)$ .

2. Ta đã biết: đối với hàm số 1 biến, nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì sẽ liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, Theo lý thuyết về giới hạn hàm số hai biến, ta đã biết hàm số trên không liên tục tại điểm (0, 0) mặc dù hàm số trên có 2 đạo hàm riêng tại (0,0). Vì vậy, việc tồn tại đạo hàm riêng chưa đảm bảo sự liên tục của hàm số.

Thảo luận

50 bình luận về “Đạo hàm riêng”

thầy giải giúp e bài này với ạ
x=2ln(cotant)
y=tant+cotant
tính y'(x) ạ

ThíchThích

Posted by Lương Thị Yên | 01/12/2014, 22:55

Reply to this comment
thầy ơi cho e hỏi bài toán này được ko ạ
cho f(x)=[sin4(x-1)]/(x-1) nếu x#1
f(1)=4 nếu x=1
tính f”(1)
em cảm ơn thầy ạ

ThíchThích

Posted by carotmau | 22/05/2012, 21:38

Reply to this comment
Em có 1 bài về đạo hàm hàm ẩn nhưng ko biết giải sao,mong mọi người giúp đỡ:
Cho hàm ẩn xác định bởi:y^3 -(x^2 -2).y -2x^4=o.Tính y”(1)

ThíchThích

Posted by tung | 09/10/2011, 16:06

Reply to this comment
- y’ theo x = -2XY – 8 X^3.
  y”theo xx = -2-24X^2.
  Y’ theo y= 3Y^2 – X^2 + 2
  Y” theo yy = 6y
  
  ThíchThích
  
  Posted by LanLan | 06/12/2011, 10:22
  
  Reply to this comment
xin thấy hướng dẫn dùm em bài này
tìm z”x^2 nếu z = x^2 + y^2 ở đó y = y(x) đc xđ bới pt x^2 – xy + y^2 =1. Em mới học phần này nên ko bit cách lấy đạo hàm y^2 theo x ạ.

ThíchThích

Posted by 2907 | 25/04/2011, 09:52

Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm