Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MB

Phương trình cấp một tổng quát có dạng F(x,y,y’) = 0 (I)

Nếu giải ra được đối với y’ thì phương trình có thể viết dưới dạng:

y' = f(x,y) (1)

hoặc: \dfrac{dy}{dx} = f(x,y)

hoặc: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0

Chú ý quan trọng:

- Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần.

- Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: x' = \dfrac{1}{y'} = { \dfrac{1}{f(x,y)}} = g(x,y) thì sẽ tìm được cách giải.

1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu):

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm ptvp: y' = f(x,y) (1) thỏa mãn điều kiện đầu: y(x_0) = y_0 (2)

Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1)

2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm):

Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền mở D \subset R^2 , thì với mọi điểm (x_0;y_0) \in D , bài toán Cauchy (1), (2) có nghiệm xác định trong 1 lân cận của x0.

Ngoài ra, nếu đạo hàm riêng \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y} cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là duy nhất.

(ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt quá những kiến thức chúng ta được trang bị)

3. Nghiệm tổng quát:

Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số \varphi (x,C) = y , phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện:

1. Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C.

2. Với bất kỳ điều kiện đầu y(x_0) = y_0 ta cũng có thể tìm được C = C_0 sao cho hàm số y = {\varphi}(x,C_0) thỏa mãn điều kiện đầu

- Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức {\varphi}(x,y,C) = 0 (*) mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt (*) và (*) được gọi là tích phân tổng quát.

- Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.

4. Phương trình phân ly biến số (tách biến)

Là phương trình có dạng:

y' = f(x,y) = g(x).h(y)  (hoặc M(x)dx+N(y)dy=0  )

Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y)

4.1 Cách giải:

Ta biến đổi như sau: { \dfrac{dy}{dx}} = g(x).h(y) \Rightarrow { \dfrac{dy}{h(y)}} = g(x)dx

Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát:

\int { \dfrac{dy}{h(y)}} = \int g(x) dx + C

4.2 Ví dụ:

1. Giải phương trình: x(y^2 -1) dx + y(x^2-1)dy = 0 (1)

Chuyển phương trình về dạng (1) ta có:

y' = \dfrac{dy}{dx} = - { \dfrac{x}{x^2-1}}.{ \dfrac{y^2 - 1}{y}} , x^2 -1 \ne 0 , y^2 - 1 \ne 0 (2)

Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến.

Khi đó ta có:

{ \dfrac{ydy}{y^2-1}} = -{ \dfrac{xdx}{x^2 -1}} \Rightarrow \int { \dfrac{ydy}{y^2-1}} = - \int { \dfrac{xdx}{x^2 -1}}

\Rightarrow{ \dfrac{1}{2}}ln|y^2-1| = -{ \dfrac{1}{2}}ln|x^2-1| + lnC

Ở đây do 2 vế đều có chứa ln nên thay vì ta chọn hằng số C thì ta chọn hằng số là lnC để dễ dàng rút gọn

Vậy nghiệm phương trình: ln{\sqrt{y^2-1}} = ln \left|{ \dfrac{C}{\sqrt{x^2-1}}} \right|

Hay: (x^2-1).(y^2 -1) = C^2

2. Giải phương trình tgydx-xlnxdy=0

Ta có: y' = { \dfrac{dy}{dx}} = { \dfrac{tgy}{xlnx}} (phương trình tách biến)

Do đó: { \dfrac{dy}{tgy}} = { \dfrac{dx}{xlnx}}

Suy ra: \int { \dfrac{dy}{tgy}} = \int { \dfrac{dx}{xlnx}} \Rightarrow ln(sinx) = ln(lnx) + lnC \Rightarrow siny = C.lnx

Bài này, ta cần xét thêm trường hợp tgy = 0.

3. Ví dụ tự giải: { \dfrac{4+y^2}{\sqrt{x^2+4x+13}}} = { \dfrac{3y+2}{x+1}}y'

4.3 Nhận xét:

Phương trình dạng y' = f(ax+by+c)

có thể đưa về phương trình tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới z = ax+by+c

Thật vậy, ta có: z' = a + by' \Rightarrow z' = a+bf(z)

Vậy vế phải là biểu thức chỉ phụ thuộc z. Nghĩa là z tách riêng và x tách riêng nên nó là phương trình tách biến.

5. Phương trình đẳng cấp:

- Hàm F(x,y) được gọi là hàm đẳng cấp bậc k nếu:

với mọi λ > 0, ta có: F({\lambda}x,{\lambda}y) = {\lambda}^k F(x,y)

- Ví dụ: Các hàm \dfrac{x-y}{2x+y} , { \dfrac{x^2-2xy}{x+y}} , x^3 - 3x^2y + y^3 lần lượt là các hàm đẳng cấp bậc 0, bậc 1, bậc 3. Hàm \dfrac{x+y^2}{x^2-y^2} không là hàm đẳng cấp

5.1 Phương trình vi phân đẳng cấp: Phương trình y' = f(x,y) được gọi là phương trình đẳng cấp nếu: f(x,y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là f(x,y) = f(tx,ty)

- Lưu ý: một số giáo trình gọi tên dạng phương trình này là phương trình thuần nhất

- Nhận xét: Giả sử y' = f(x,y) = \dfrac{M(x,y)}{N(x,y)} (1) thì để (1) là phương trình đẳng cấp thì tất cả mọi số hạng có trong M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc.

- Ví dụ: phương trình: y' = \dfrac{2xy}{x^2+y^2} là phương trình đẳng cấp vì các số hạng đều là bậc 2. Phương trình: y' = \dfrac{y+{\sqrt{x^2-y^2}}}{x} là phương trình đẳng cấp vì y, \sqrt{x^2-y^2} , x đều là các số hạng bậc 1.

5.2 Cách giải:

Theo định nghĩa pt đẳng cấp ta có: f(tx,ty) = f(x,y) . Chọn t = \dfrac{1}{x} (x \ne 0) thì pt (1) có dạng:

y' = f(x,y) = f\left(1;{ \dfrac{y}{x}} \right)  (*)

Vế phải của pt (*) là 1 biểu thức luôn phụ thuộc y/x . Do vậy: y' = f \left(1;{ \dfrac{y}{x}} \right) = \varphi \left( { \dfrac{y}{x}} \right) (5)

Đặt u = \dfrac{y}{x} \Rightarrow y = u.x \Rightarrow y' = u + x.u'

Thế vào phương trình (5) ta có: x.u' = {\varphi}(u) - u

- Th1: Nếu {\varphi}(u) - u = 0

Khi đó: {\varphi} \left({ \dfrac{y}{x}} \right) = { \dfrac{y}{x}}

Do đó pt (5) trở thành: y' = \dfrac{y}{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x} \Rightarrow y = Cx

- Th2: Nếu {\varphi}(u) - u \ne 0

Khi đó: \dfrac{du}{{\varphi}(u)-u} = { \dfrac{dx}{x}} : pt tách biến.

5.3 Ví dụ: Giải phương trình vi phân: y' = \dfrac{x+y}{x-y}

Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta viết lại phương trình như sau:

y' = \dfrac{x+y}{x-y} = { \dfrac{1+{ \dfrac{y}{x}}}{1-{ \dfrac{y}{x}}}}

Đặt: u = \dfrac{y}{x} . Ta có: y' = u'.x+u , và thay vào phương trình ta có:

u'.x+u = \dfrac{1+u}{1-u} \Rightarrow { \dfrac{1-u}{1+u^2}}du = \dfrac{dx}{x}

Lấy tích phân 2 vế ta được:

\int { \dfrac{du}{1+u^2}} - \int { \dfrac{udu}{1+u^2}} = ln|x| + lnC

\Rightarrow arctgu - { \dfrac{1}{2}}ln(1+u^2) = lnC|x|

Hay: arctgu = lnC|x|{\sqrt{1+u^2}}

Vậy nghiệm của phương trình có dạng: C(x^2+y^2) = e^{arctg(y/x)}

Thảo luận

25 thoughts on “Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1

  1. thầy ơi sao thầy không lấy thêm nhiều bài tập ví dụ nữa thầy? em thấy bài tập nó hơi ít ah!

    Like this

    Posted by thanh lam | 26/11/2012, 20:40
  2. bên trên khi đặt x=u+h e nghĩ bên dưới la y=v+k chứ thầy

    Like this

    Posted by Đỗ Khánh Duy | 10/06/2011, 03:06
  3. em thắc mắc tại sao ở vd 5.3 thầy không xét TH x=0 với x#0 ??????
    Thầy có thể giải thích rõ tại sao không xét không

    Like this

    Posted by Tuan Vu | 31/01/2011, 19:51
  4. thầy cho em hỏi bài giải phương trình vi phân :y’=x+y .cám ơn thầy ^^

    Like this

    Posted by Lam Như | 23/10/2010, 22:06
  5. Thầy ơi, em bị bí bài này thầy giải giúp em với ạ: Xét PTVP (y^2-2xy)dx+(x^2-5xy)dy=0.
    Khẳng định nào sau đây dúng:
    1.PTVP dẳng cấp
    2. PTVP Bernoulli
    3.PTVP tách biến
    4.PTVI tuyến tính

    Like this

    Posted by Mộng Tuyền | 18/09/2010, 09:45
    • Để tìm dạng ptvp, em cứ biến đổi về dạng: y' = f(x,y) . Sau đó, phân tích f(x,y) để tìm ra dạng của nó.
      Ở đây, em có \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2xy-y^2}{x^2-5xy}
      Tất cả số hạng ở vế phải đều có bậc là 2 nên f(x,y) = f(tx,ty) . Vậy nó là dạng pt gì chắc em đã nhận ra.

      Like this

      Posted by 2Bo02B | 18/09/2010, 10:12

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 975 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

There are no public comments available to display.
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 975 other followers

%d bloggers like this: