Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1bc

I. Các định nghĩa:

1. Định nghĩa 1:

Nếu f là một hàm số, khi đó ta nói:

A là giới hạn của hàm số f khi x dần tiến đến a

nếu giá trị của hàm số f(x) nhận các giá trị rất gần giá trị A khi x dần tiến đến a. Điều này được viết theo ký hiệu Toán học như sau:

Ví dụ: do nhận các giá trị rất gần 9 khi x tiến đến 3.

vì:

Định nghĩa như trên hoàn toàn theo ngôn ngữ nói bình thường.

Mặc dù khái niệm giới hạn đã tiềm ẩn trong sự phát triển của ngành Giải tích từ thế kỷ thứ 17 và 18, nhưng, khái niệm hiện đại về giới hạn của hàm số mới được đề cập đầu tiên vào năm 1817 bởi nhà toán học Bolzano. Ông đã đưa ra khái niệm epsilon – delta khi đề cập đến khái niệm hàm số liên tục. Tuy nhiên, thật đáng tiếc, công trình này đã không được mọi người biết đến trong suốt cuộc đời của ông. (Felscher, Walter (2000), “Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 107). Năm 1821, Cauchy đã thảo luận về vấn đề giới hạn trong quyển Cours d’analyse, trong đó ông đã dùng thuật ngữ “approaches indefinitely” để mô tả khái niệm giới hạn. Việc mô tả này gần giống với định nghĩa giới hạn hiện tại. Dẫu vậy, điều này cũng không được công nhận vì ông mô tả nó bằng lời. (theo Grabiner, 1983, “Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 90). Mãi sau này, đến năm 1840, Weierstrass mới được biết đến như là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ “epsilon – delta” để định nghĩa cho khái niệm giới hạn. Và đây cũng chính là khái niệm giới hạn mà ta biết như ngày nay. Bên cạnh đó, ông cũng là người đề xuất ký hiệu lim (1840) và limx->x0.(1854).(theo Burton, The History of Mathematics: An Introduction, p.616 – 617, 1997, Mc-GrawHill). Còn ký hiệu giới hạn như ngày nay, đặt dấu mũi tên phía dưới ký hiệu lim, là do nhà Toán học Hardy đưa ra vào năm 1908 trong quyển sách có tựa đề A Course of Pure Mathematics. (theo Miller, 2004)

2. Định nghĩa 2:

Cho hàm số xác định trong một lân cận v(a) của a, số thực L hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi nếu:

Ý nghĩa: Với khoảng sai khác rất bé ε được định trước ta luôn tìm được 1 khoảng lân cận v(a) của a sao cho với mỗi giá trị x nằm trong lân cận của v(a) ta luôn có giá trị f(x) sai khác L 1 khoảng bé hơn ε.

Nói cách khác: nếu ta muốn f(x) gần với L đến mức nào mà bạn muốn (sai khác một khoảng ε khá bé (để bất đẳng thức (2) xảy ra), thì bạn có thể tìm được δ thích hợp để x đủ gần a (để có bất đẳng thức (1)).

Khi đó, bất cứ khi nào x ≠ a thỏa mãn (1), giả sử tại x0 thì sẽ có giá trị f(x) thỏa mãn (2), và giá trị đó là f(x0). Như vậy, giới hạn hàm số f(x) khi x tiến đến a không phụ thuộc vào việc hàm số y = f(x) có xác định tại x = a hay không!

Ví dụ: Chứng minh

Nhận xét: hàm số không xác định tại x = 0 nhưng xác định trong lân cận của 0.

Với mỗi số ε > 0 nhỏ tùy ý, ta có:

Ta cần tìm giá trị sao cho:

Ta có:

Vậy ta chỉ cần chọn

Khi đó:

Vậy theo định nghĩa:

3. Giới hạn 1 bên: (Left limit and right limit)

Ví dụ: Xét hàm số có miền xác định trong đoạn . Nếu a là 1 giá trị bất kỳ nằm trong khoảng (-3;3) thì tồn tại và bằng .

Tuy nhiên, tại x = 3:

Cho x tiến đến 3 từ phía bên trái (x < 3): Khi đó: tồn tại và bằng 0.

Nhưng cho x tiến đến 3 từ phía bên phải (x > 3): thì không tồn tại ( do x không thuộc MXD của hàm số)

Vậy, chỉ có những giá trị x < 3 mới tồn tại giới hạn nên xuất hiện khái niệm giới hạn trái.

Tương tự, xét x dần tiến về -3, sẽ xuất hiện khái niệm giới hạn phải.

Giới hạn trái:

Ký hiệu:

Giới hạn phải:

Ký hiệu:

Nhận xét:

Từ định nghĩa ta có:

4. Giới hạn vô cùng: (Infinity limit)

Xét:

Trong trường hợp này, khi x càng dẩn tiến đến 0, thì giá trị f(x) càng ngày càng lớn, lớn hơn bất kỳ 1 số thực dương nào cho trước, nói chung là Vô cùng lớn.

Do đó:

Tương tự:

Ký hiệu được nhà toán học John Wallis sử dụng đầu tiên vào năm 1665 trong quyển sách có tựa đề “Arithmetica Infinitorum“. Ký hiệu này bắt nguồn từ việc người La Mã dùng nó để chỉ số 1000. Cũng giống như ngày nay, từ “myriad” (vô số) được dùng để chỉ một số lượng lớn mặc dù tiếng Hy Lạp cổ, nó có nghĩa là 10.000

II. Các định lý và tính chất:

1. Định lý:

Các định lý sau đây được chứng minh khá dễ dàng. Xem như đây là bài tập.

1. Nếu là hàm số sơ cấp và – hằng số thì

Nếu không để ý điều kiện f(x) là hàm sơ cấp sẽ dẫn đến sai lầm sau:

Xét

Khi đó:

Trong các định lý sau đây, giả sử (A, B hữu hạn).

2.

3.

4.

5.

6. (nếu xác định )

7.

Ví dụ:

Nhưng:

Lưu ý: ta nói hoặc là tồn tại nếu giá trị của giới hạn là số thực hữu hạn nhưng không nói tồn tại nếu giới hạn là

Mở rộng: Tìm ví dụ sao cho không tồn tại nhưng tồn tại