Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với một xác suất tương ứng xác định.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng chữ cái lớn ở cuối bảng chữ cái: X, Y, Z hoặc X1, X2, …, Xn; Y1, Y2, …, Yn và dùng các chữ nhỏ để ký hiệu các giá trị có thể có (giá trị cụ thể) của chúng. Chẳng hạn X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.

Ta chú ý rằng sở dĩ đại lượng X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa có thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu mà chỉ có thể dự đoán điều đó với một xác suất nhất định.

Nói một cách khác ,việc X nhận giá trị nào đó (X = x1) hay (X = x2), …, (X = xn) về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơn nữa vì trong kết quả của phép thử đại lượng X nhất định sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó, do đó các biến cố (X = x1), (X = x2), …, (X = xn) tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ.

Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện” thì X là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6 với xác suất tương ứng đều bằng 1/6.

Thí dụ 2: Gọi Y là số phế phẩm có trong 50 sản phẩm lấy ra kiểm tra. Y là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử Y sẽ nhận một trong các giá trị 0, 1, 2, …, 50.

2) Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Trong số các đại lượng ngẫu nhiên thường gặp trong thực tế có thể phân thành hai loại chủ yếu: đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được.

Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên sẽ là rời rạc nếu ta có thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó.

* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp kín một khoảng trên trục số.

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta không thể liệt kê được các giá trị có thể có của nó.

Thí dụ 3: một phân xưởng có 4 máy hoạt động. Gọi X là: “số máy hỏng trong một ca”. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là X = 0, 1, 2, 3, 4.

Thí dụ 4: Gọi X là “kích thước của chi tiết do một máy sản xuất ra”, X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

II. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, trước hết ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể nhận các giá trị nào. Nhưng mặt khác ta phải biết nó nhận các giá trị trên với xác suất tương ứng là bao nhiêu.

Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.

Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng: bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất.

1. Bảng phân phối xác suất:

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn. Bảng phân phối xác suất của X có dạng:

\begin{array}{c| c c c c } X & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \end{array}

Trong đó các xác suất pi (i = 1, 2, …, n) phải thoả mãn các điều kiện:

0 \le P_i  \le 1 \sum\limits_{i = 1}^n {P_i }  = 1

Điều kiện thứ nhất là hiển nhiên vì theo tính chất của xác suất, còn điều kiện thứ hai là do các biến cố (X = x1), (X =x2), …, (X = xn) tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ, nên tổng xác suất của chúng bằng một.

Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện”. Bảng phân phối xác suất X có dạng:

\begin{array}{c| c c c c c c} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}

Thí dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.

Giải: Gọi X là: “số chính phẩm được lấy ra từ hộp” thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng:

P_1  = P(X = 0) = \dfrac{{C_4^2 }}{{C_{10}^2 }} = \dfrac{2}{{15}}

P_2  = P(X = 1) = \dfrac{{C_6^1 C_4^1 }}{{C_{10}^2 }} = \dfrac{8}{{15}}

P_3  = P(X = 2) = \dfrac{{C_6^2 }}{{C_{10}^2 }} = \dfrac{5}{{15}}

Vậy quy luật phân phối xác suất của X là:

\begin{array}{c| c c c } X & 0 & 1 &  2 \\ \hline P & 2/15 & 8/15 & 1/3 \\ \end{array}

2. Hàm phân phối xác suất:

Hàm phân phối xác suất áp dụng cho cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố “đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x”. Biến cố này được ký hiệu (X < x). Hiển nhiên là x thay đổi thì xác suất P(X < x) cũng thay đổi theo. Như vậy xác suất này là một hàm số của x.

a) Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là F(x) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.

F(x) = P(X < x)

Ta chú ý rằng đây là định nghĩa tổng quát của hàm phân phối xác suất. Đối với từng loại đại lượng ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất được tính theo công thức riêng. Chẳng hạn nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất F(x) được xác định bằng công thức

F(x) = \sum\limits_{x_i  < x} {P_i } (1)

(Trong đó ký hiệu xi < x dưới dấu Σ có nghĩa là tổng này được lấy theo mọi trị số xi của đại lượng ngẫu nhiên bé hơn x).

Thí dụ: Tiến hành bắn 3 viên đạn độc lập. Xác suất trúng bia của mỗi viên bằng 0,4. Lập hàm phân phối của số lần trúng.

Giải: Gọi X là số lần trúng. X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. Với các xác suất tương ứng là:

P_1 = P(X = 0) = (0,6)^3 = 0,216

P_2 = P(X =1) = C_{1}^{3}. 0,4.(0,6)^2 = 0,432

P_3 = P(X = 2) = C_2^3.(0,4)^2. 0,6 = 0,288

P_4 = P(X = 3) = (0,4)^3 = 0,064

Ta có bảng phân phối xác suất của X:

\begin{array}{c| c c c c } X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,216 & 0,432 & 0,288 & 0,064 \\ \end{array}

* Khi x = 0, biến cố (X < x) là biến cố không thể có do đó F(x) = 0

* Khi 0 < x = 1 biến cố (X < x) chỉ xảy ra khi X = 0 nên F(x) = P1 = 0,216

* Khi 0 < x = 2 biến cố (X < x) sẽ xảy ra khi X = 0 hoặc khi X = 1

Do đó: F(x) = P1 + P2 = 0,216 + 0,432 = 0,643

* Khi 2 < x = 3 ta có: F(x) = P1 + P2 + P3 = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936

* Khi x > 3 ta có: F(x) = P1 + P2 + P3 + P4 = 1

Vậy hàm phân phối xác suất có dạng:

f(x) = \left \{ \begin{array}{c c} 0 & x = 0 \\ 0.216 & 0 < x = 1 \\ 0.648 & 1 < x = 2 \\ 0.936 & 2 < x = 3 \\ 1 & x > 3 \\ \end{array} \right.

Đồ thị của F(x) được biểu diễn trên hình (3.1).

Như vậy đồ thị hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có dạng bậc thang với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có của X.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm phân phối xác suất của nó liên tục và khả vi tại mọi điểm của X, do đó đồ thị của nó là đường cong liên tục.

Advertisements

Thảo luận

34 thoughts on “Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều

  1. Thầy ơi giải dùm em bài này với ạ:

    cho mẫu 1 chiều, để đạt đọ chính xác 0,1 và độ tin cậy là 98% thì cần điều tra bao nhiêu?

    Số lượt thích

    Posted by Cường | 07/07/2013, 07:42
  2. thầy giải giúp em bài này với ạ
    xét trò chơi,gieo một con xúc xắc 3 lầnđều xuất hiện mặt 6 chấm thì thắng cuộc 6000 đ.Nếu có 2 lần xuất hiện mặt 6 chấm thì thắng cuộc 4000 đ.nếu có 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm thì thắng cuộc 2000 đ.Nếu ko xuất hiện mặt 6 chấm nào thì thua cuộc a đồng.hãy xác định:
    a) a là bao nhiêu để người chơi nhiều lần thì hòa vốn(gọi là trò chơi công băng)
    b) a là bao nhiêu để trung bình mỗi lần chơi người chơi mất 1000 đ

    Số lượt thích

    Posted by nguyen ha | 12/03/2013, 20:18
  3. thầy ơi giúp em bài này với:
    Hai đấu thủ A và B thi đấu cờ.Trong mỗi ván hoặc A thắng hoặc B thắng ko có hòa.Xác suất thắng của A trong mối ván đều bằng p.Với quy ước đấu thủ nào có số ván thắng theo qui định xảy ra trước thì đấu thủ đó thắng cuộc.Hãy tính xác suất đấu thủ thắng cuộc trong các trường hợp sau:
    a.Nếu qui định A cần thắng 2 ván và B cần thắng 3 ván.
    b.nếu qui định A cần m ván thắng và B cần n ván thắng.

    Số lượt thích

    Posted by brrthuydung | 11/09/2012, 23:43
  4. dạ thầy và các bạn, em đọc mà không hiểu phần trả lời câu a trong ví dụ của thầy,thầy và các bạn có thể nói rõ cho mình hiểu được không? cảm ơn.

    Số lượt thích

    Posted by Mai Thương | 24/04/2011, 17:17
  5. Thây ơi thầy có thể cho chúng em một vài ví dụ cụ thể về dạng toán liên quan tới Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc và Liên Tục với ạ
    Cụ thể một số câu hỏi như :Tìm hàm phân phối khi có hàm mật độ, tìm hàm mật độ khi có hàm phân phối..
    Em cảm ơn thầy rất nhiều ạ!

    Số lượt thích

    Posted by snow white | 12/04/2010, 04:55
  6. em chào thầy, thầy giải giúp em bài này với ak. em thấy bài này khó quá
    2 kẻ trộm đeo mặt nạ, bị cảnh sát bắt, bèn vứt mặt nạ đi và trà trộn vào 1 đám đông. CẢnh sát bắt giữ toàn bộ đám đông, tổng cộng 60 người, và dùng máy phát hiện nói dối để diều tra xem ai trong đám đông là kẻ trộm. biết rẳng đối với kẻ trộm, xác suất để máy tính nghi có tội là 85%, dối với ngừoi vô tội, thid xác suất để bị máy nghi nhầm thành có tội là 7%. giả sử X là nhân vật trong đám đông bị nghi là có tội. tính xác suất để x là kẻ trộm
    em cảm ơn thầy nhiều

    Số lượt thích

    Posted by thanh | 12/01/2010, 01:36
  7. Giup minh cau nay nua nha
    Mot cap sinh doi co the do cung 1 trung sinh ra (sinh doi that) hay do 2 trung sinh ra. Cap sinh doi that luon co cung gioi tinh. Doi voi cap sinh doi gia thi gioi tinh cua chung doc lap voi nhau va xs sinh con trai la 0,5. Thong ke thay co 34% la con trai, 30% la con gai va 36% co gioi tinh khac nhau.
    A, tim ti le cap sinh doi that.(cai nay la chinh day)
    b, chon ngau nhien 1 cap thi duoc 1 cap cung gioi tinh. Tim xs de cap do la sinh doi that.
    Het
    giup mih voi.chuan bi thi roi
    thanks

    Số lượt thích

    Posted by Manh cuong | 13/12/2009, 19:15
  8. Bạn nào giúp mình giải bài này với:
    Có 80 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 ý, trong đó có 1 ý đúng. 1 học sinh trả lời hú họa
    a. Tính xác suất để HS trả lời đúng 24 câu.
    b. Tính xác suất để HS trả lời đúng nhiều hơn 30 câu.

    Số lượt thích

    Posted by Manh Cuong | 13/12/2009, 14:42

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 738 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: