Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình vô nghiệm thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

I. Khái niệm về số phức

1.1. Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là .

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau, tức là:

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký hiệu . Khi đó: số phức liên hợp của là z.

1.2. Các dạng biểu diễn của số phức:

1. Dạng đại số: Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ Trong nhiều trường hợp, người ta xem vec tơ như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a +bi và là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. Khi đó:

Độ dài của vectơ được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển nhiên ta có:

Bây giờ giả sử , tức là . Góc định hướng giữa tia Ox và vectơ (đo bằng radian) được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất mà sai khác nhau .

Nếu chỉ giới hạn xét thì khi đó được gọi là argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng .

Do đó: được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3. Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác

Ta có: , nếu .

.

Từ định nghĩa của số phức liên hợp của z và biểu diễn hình học của , ta có:

Tình huống:

.có phải là dạng lượng giác của số phức z?

Ví dụ:

1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác:

II. Những phép tính cơ bản trên số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là .

1. Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)

2. Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:

Nhận xét: , ,

3. Phép chia 2 số phức.

3.1 Bổ đề:

Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức sao cho . Khi đó được gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu . Vậy .

Chứng minh

Ta cần tìm sao cho .

Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1

Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được:

Vậy tồn tại.

Do đó: (4)

Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp

3.2 Phép chia hai số phức:

Giả sử . Khi đó:

Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:

4. Các ví dụ:

1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w, z – w, z.w, z/w.

2. Tính . Suy ra

3. ; ;

4. ;

5. Tìm modun của các số phức sau: