Vô cùng bé (infinitesimal)

1. Định nghĩa:

Hàm \alpha (x) được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi x\to {{x}_{0}} nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0

Ví dụ: x^m , sinx , {\tan}x , ln(1+x) , 1 - \cos x là các VCB khi x\to 0 .

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x\to \infty thay vì quá trình x\to {{x}_{0}} .

Quy ước: quá trình x\to \infty thay x\to {{x}_{0}} ta gọi chung là trong 1 quá trình.

2 Định lý:

Trong 1 quá trình, f(x)\to L khi và chỉ khi {\alpha}(x) = f(x) - L là VCB trong quá trình đó.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu {\alpha}(x) là VCB, C là hằng số thì C.{\alpha}(x) là VCB.

2. Nếu {{\alpha}_{1}}(x), {{\alpha}_{2}}(x), {{\alpha}_{3}}(x), ..., {{\alpha }_{n}}(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng {{\alpha }_{1}}(x)+ {{\alpha }_{2}}(x)+ … + {{\alpha }_{n}}(x) cũng là VCB.

3. Nếu \alpha (x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích {\alpha}(x).f(x) cũng là VCB.

4. So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f(x)}{g(x)}= k

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = {\theta}(g) (hoặc f = 0(g) )

Nếu k = {\pm}{\infty} thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = {\theta}(f)

Nếu k \ne 0, k \ne \pm \infty thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB tương đương. Ký hiệu: f \sim g

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .

Ví dụ:

1. 1-cosx , x^2 là hai VCB ngang cấp khi x \to 0 .

2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x \to 0 .

5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:

Nếu x \to 0 thì:

{\sin}x \sim x , {\tan}x \sim x , 1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2 ; {\arcsin}x \sim x

(e^x-1) \sim x , ln(1+x) \sim x , \left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính chất 1:

Nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f}{g}=k , f \sim f_1; g \sim g_1 thì \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k

Chứng minh

Thật vậy: \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, \dfrac{f}{g} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f}{f_1}}.{ \dfrac{f_1}{g_1}}.{ \dfrac{g_1}{g}} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f_1}{g_1}}

Ví dụ: \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+2x)}{{{e}^{3x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}

6.2 Tính chất 2:

Nếu {\alpha}(x) = \theta({\beta}(x)) trong 1 quá trình thì {\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x) .

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.

Ví dụ:

1.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{1-\cos 5x}{{{\sin }^{2}}2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}(5x)^2}{(2x)^2} = \dfrac{25}{8} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x^2} = \dfrac{25}{8}

2. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-3x)}{tan2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-3x}{2x} = -\dfrac{3}{2}

3. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{x+{{\sin }^{2}}x+t{{g}^{3}}x}{2x+{{x}^{3}}+4{{x}^{5}}}

4. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+tgx)}{x+{{\sin }^{3}}x}

5. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-2x{{\sin }^{2}}x)}{\sin {{x}^{2}}.tgx}

Thảo luận

158 thoughts on “Vô cùng bé (infinitesimal)

  1. cho e hỏi câu này được không ạ lim((e^sin(x)-e^(x))/(sin(x)-x)) khi x tiến đến 0

    Like

    Posted by Lê Hưng | 11/11/2016, 20:07
  2. coa thể thay vcb ở dưới mẫu không thui được không ạ

    Like

    Posted by Mạnh | 31/10/2016, 18:19

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 715 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: