Khảo sát đường cong tham số

1. Phương trình tham số của đường cong:

Cho hai hàm số: \left \{ \begin{array}{c} {x = x(t)            \qquad (1)} \\{y = y(t)            \qquad (2)} \end{array} \right.

Khi t thay đổi, điểm \text{M(x(t), y(t))} vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).

Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).

Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): { \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}

Vì hiệu bình phương của { \dfrac{x}{a}} , { \dfrac{y}{b}} bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:

\dfrac{x}{a} = cht , \dfrac{y}{b} = sht , t \in \mathbb R

Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:

\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}

Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.

cycloidanim04.gif

Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:

\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}

2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:

Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình y = f(x) . Gồm các bước sau đây:

  1. Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
  2. Khảo sát và lập bảng biến thiên:
    • Tính đạo hàm { \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)

    • Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm \dot{x} = x_{t}^{'} hay \dot{y} = y_{t}^{'} triệt tiêu. (nếu tồn tại t_0 sao cho \dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0 , \dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0 thì điểm M(x_0 , y_0) là điểm kỳ dị, với x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0) ).

    • Mỗi khoảng (t_k , t_{k+1}) tương ứng với khoảng (x_k , x_{k+1}) sẽ xác định dấu của y'(x).

    • Tính đạo hàm cấp 2:

    { \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) -  x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} -  {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3}  } \qquad (4)

  3. Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
  4. Tìm tiệm cận của đường cong:
  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = a , \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty thì x = a là tiệm cận đứng.

  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = \infty , \lim_{t \to t_0} y(t) = b thì y = b là tiệm cận ngang.

  • Nếu khi t \to t_0 , x \to \infty , y \to \infty và:

lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a , lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b

thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:

\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.

Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.

Nhưng vì các hàm số acos^{3}t, asin^{3}t là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2\pi ].

Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].

Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.

Xét khoảng biến thiên. Ta có:

x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0 khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_t^{'} = 3asin^{2}tcost khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_{x}^{'} = -tg t = 0 khi t = 0, \pi , 2\pi y_{x}^{'} = \infty tại { \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}

Ta có bảng biến thiên sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c}  \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi}  & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi}  \\  \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}

Tính đạo hàm cấp hai ta có:

\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t

\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t

Do đó:

{ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} =  { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}

Nhận thấy:

Khi 0 < t < \pi : thì đường cong lõm

Khi \pi < t < 2{\pi} : thì đường cong lồi

Lại có:

Khi 0 \le t \le {\pi}/2 : thì x \ge 0 , y \ge 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất

Khi {\pi}/2 \le t \le {\pi} : thì x \le 0 , y \ge 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.

Khi {\pi} \le t \le 3.{\pi}/2 : thì x \le 0 , y \le 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.

Khi 3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi} : thì x \ge 0 , y \le 0  nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.

Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:

astroid01.gif

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)

Thảo luận

30 thoughts on “Khảo sát đường cong tham số

  1. thầy ơi e làm khóa luận tốt nghiệp về khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho dưới dạng tham số..e nên cần tài liệu gì để làm …..mog thầy gợi ý giup e

    Liked by 1 person

    Posted by Nguyen Duc Hiep | 24/01/2015, 09:37
    • Em có thể tham khảo trong quyển Calculus của tác giả Thomas Finney. Hoặc ra tiệm sách cũ, tìm quyển sách Giải tích, (bản dịch Tiếng Việt) của tác giả Pixcunop. 2 sách này có trình bày khá kỹ và rõ về khảo sát đường cong tham số. Chúc em thành công.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 09/03/2015, 11:19

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 715 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: