1. TẬP HỢP:

Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.

Các ví dụ về tập hợp:

– Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó.

– Tập hợp N mọi số tự nhiên.

– Tập hợp R mọi số thực.

Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách:

a) Liệt kê mọi phần tử của nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập hợp bốn chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái tiếng Việt.

b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Thí dụ: là tập hợp số thực thỏa mãn tính chất .

Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn tập hợp có số phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.

Tập hợp vô hạn được chia làm hai loại:

– Tập hợp vô hạn đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các số nguyên dương: 1, 2, 3, …

– Tập hợp vô hạn không đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các điểm của một đường thẳng, tập hợp tất cả các số thực trong khoảng (0, 2) là những tập hợp không đếm được.

2. QUY TẮC NHÂN:

Quy tắc nhân được phát biểu như sau:

Một công việc nào đó được chia làm hai giai đoạn, có n1 cách hoàn thành giai đoạn I và có n2 cách hoàn thành giai đoạn II. Khi đó sẽ có tất cả: n = n1.n2 cách hoàn thành công việc.

Thí dụ: Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta muốn ghé qua vị trí C. Có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C tới B. Ki đó ta có tất cả n = 2.3 = 6 cách đi khác nhau từ A đến B.

Một cách tổng quát, ta phát biểu quy tắc nhân:

Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đoạn. có n1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I, có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II,…, có nk cách hoàn thành giai đoạn cuối cùng. Khi đó sẽ có tất cả: cách hoàn thành công việc.

3. CHỈNH HỢP:

3.1. Định nghĩa:

Chỉnh hợp chập k của n phần tử () là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.

Thí dụ: cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử đó là: 23, 25, 32, 35, 52, 53.

Như vậy từ n phần tử ta có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác nhau. Chỉnh hợp này khác chỉnh hợp kia hoặc bởi có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc chỉ do thứ tự  sắp xếp.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

3.22. Công thức tính:

(1.1)

Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 1

3.3 Thí dụ: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày.

Giải: Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử.

Do đó có tất cả: cách

4. CHỈNH HỢP LẶP:

4.1 – Định nghĩa:

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k lần trong nhóm tạo thành.

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể lớn hơn n. Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, 5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử sẽ là:

22 23 25

32 33 35

52 53 55

Số chỉnh lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

4.2 – Công thức tính:

Ta thành lập công thức tổng quát để tính . Muốn vậy ta lập luận như sau: để có một chỉnh hợp lặp chập k ta có thể chọn phần tử thứ nhất theo n cách. Phần tử thứ hai cũng có n cách chọn … phần tử thứ k cũng có n cách chọn ( vì mỗi phần tử có thể chọn lại nhiều lần). Vì vậy theo quy tắc nhân ta có: n . n … n = cách thành lập một chỉnh hợp lặp chập h khác nhau từ n phần tử đã cho.

Do đó: (1.3)

4.3 Thí dụ: Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1 … 2 … 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy.

Giải: Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậy có thể đánh số được: máy.

5. HOÁN VỊ:

5.1 – Định nghĩa:

Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.

Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là

5.2 – Công thức tính:

Theo định nghĩa ta thấy các hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ tự sắp xếp giữa các phần tử mà thôi. Một hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó:

Vậy (1.4)

5.3 Thí dụ: Một bàn có 4 học sinh ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?

Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là: cách

6. TỔ HỢP:

6.1 – Định nghĩa:

Tổ chập k của n phần tử ( ) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử  đã cho.

Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là

6.2 – Công thức tính:

Từ  định nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp cũng chính là một chỉnh hợp (không lặp). Nhưng các chỉnh hợp nếu chỉ khác nhau về thứ tự  sắp xếp của các phần tử được coi như cùng một tổ hợp mà thôi.

Giả sử từ n phần tử ta có thể thành lập tổ hợp chập k khác nhau. Ta đem hoán vị các phần tử trong các tổ hợp này thì mỗi tổ hợp sẽ tạo ra k! chỉnh hợp, mà ta có tất cả tổ hợp. Vậy ta có đẳng thức:

6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt (tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu.

Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cần tổ chức là:

6.4 – Các tính chất của tổ hợp:

1)
Chứng minh:
2)
3)

7. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

Nhị thức Newton là lũy thừa bậc nguyên dương của tổng hai số hạng trong đó a, b là hằng số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, …