Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

1. Định nghĩa:

Ta nói là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại _lân cận của sao cho:

( )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại

Nhận xét:

– Hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại nếu:

– Nếu thay đổi dấu khi thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

Với

Với

Vậy thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm đạt cực trị (địa phương) tại và nếu f có các đạo hàm riêng tại thì:

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm ta có: , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

Mặt khác: . Vậy:

Tương tự, nếu xét hàm ta sẽ có:

Điểm mà tại đó , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng

Đặt:

Khi đó:

a. Nếu và (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu và (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số:

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: