Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: Từ 1 đoạn thẳng có độ dài là a. Hãy tạo thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu ba cạnh tam giác là x, y, z và p là nửa chu vi tam giác.

Ta cần tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài toán đưa về t2im cực đại của hàm số:

$S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}$ (công thức Hê-rông),

trong đó x, y, z thỏa mãn điều kiện $x + y +z = a$

Ví dụ 2: Từ một mảnh sắt có diện tích 2a. Bạn hãy làm 1 cái hộp dạng hình hộp sao cho nó có thể tích lớn nhất.

Ta ký hiệu chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hộp là x, y, z

Bài toán đưa về tìm cực trị của hàm số $V = xyz$ , trong đó diện tích xung quanh của hình hộp phải bằng 2a, hay x, y, z phải thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = a.

Như vậy, trong thực tế, có rất nhiều bài toán cực trị nhưng các biến số không phải là biến độc lập, mà chúng bị ràng buộc bởi những điều kiện phụ nào đó.

2. Mô hình bài toán tìm cực trị có điều kiện:

Xét bài toán: tìm cực trị của hàm $z = f(x,y) (1)$ , trong đó x, y là các biến thỏa điều kiện $g(x,y) = 0 (2)$

Nhận xét: mô hình bài toán có điều kiện chỉ xét với điều kiện (2) là 1 phương trình. Như vậy nếu điều kiện (2) có dạng: g(x,y) < 0 (hoặc g(x,y) > 0) (2′) thì được hiểu là tìm cực trị địa phương của hàm z = f(x,y), trong đó ta chỉ xét những điểm dừng nằm trong miền thỏa mãn điều kiện (2′)

3. Định nghĩa:

Ta nói rằng hàm $z=f(x,y)$ với điều kiện $g(x,y)=0$ đạt cực tiểu tại $\mathop {M_0(x_0;y_0)}$ nếu tồn tại một lân cận $B(M_0;{\epsilon})$ của M0 sao cho:

$f(x,y) \ge f(x_0;y_0) , \forall (x,y) \in B(M_0;{\epsilon}$ thỏa: g(x,y) = 0

cuctri Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của đường cong (C). Như vậy, ta chỉ so sánh $f(M_0)$ với $\mathop f(M)$ khi M nằm trên (C).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa cực đại có điều kiện.

Cực tiểu có điều kiện và cực đại có điều kiện được gọi chung là cực trị có điều kiện.

4. các phương pháp tìm cực trị có điều kiện:

4.1 Cách 1: Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi thế vào hàm số $z = f(x,y)$ ta có z là hàm theo 1 biến số x: $z = f(x,y(x))$ . Như vậy, bài toán trở về bài toán tìm cực trị của hàm số 1 biến. —–> Quá quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm $z = \sqrt{x^2+y^2-1}$ với điều kiện $x + y = 1$

Từ điều kiện trên ta rút ra: $\mathop y = 1 - x$ . Như vậy y xác định với mọi x.

Thay vào hàm số ta có:

$z = \sqrt{x^2+(1-x)^2-1} = \sqrt{2x^2-2x} = {\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x}}$

Đây là hàm số 1 biến, hàm số này xác định khi $\mathop x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 v x \ge 1$

Ta có: ${ \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ \dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2 - x}}} \Rightarrow { \dfrac{dz}{dx}} = 0 \Leftrightarrow x = { \dfrac{1}{2}}$

Như vậy, hàm số không có cực trị có điều kiện vì $\mathop x = { \dfrac{1}{2}}$ không thuộc miền xác định của hàm số.

4.2 Cách 2: phương pháp Larrange:

Nếu từ pt (2) ta không giải tìm y theo x được. Khi đó, giả sử (2) xác định 1 hàm ẩn theo biến x: $y = y(x)$ . Để tồn tại hàm số ẩn, ta giả thiết ${ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \ne 0$ (*)

Như vậy: hàm số $z = f(x;y)$ , với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y.

Với những giá trị của x làm cho z có thể có cực trị thì đạo hàm của z theo x phải triệt tiêu.

Vậy lấy đạo hàm của (1) theo biến x với quy tắc hàm hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

${ \dfrac{dz}{dx}} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}}$

Do đó, tại những điểm cực trị ta phải có:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0$ (3)

Từ điều kiện (2), ta lấy đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

${ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0$ (4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với mọi x, y thỏa mãn phương trình (2).

Như vậy, tại những điểm cực trị thỏa mãn điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn (3) và (4)

Nhân các số hạng của (4) với hệ số chưa xác định $\mathop \lambda$ và cộng chúng với các số hạng tương ứng của (3), ta được:

$\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) + {\lambda} \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} \right) = 0$

Hay:

$\left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} \right) + \left( { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} \right) { \dfrac{dy}{dx}} = 0$ (5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại những điểm cực trị thỏa điều kiện (2). Từ (5), ta chọn hằng số $\mathop \lambda$ sao cho tại những điểm cực trị, hệ số của ${ \dfrac{dy}{dx}}$ sẽ triệt tiêu.

Nghĩa là: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}} + {\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0$ (6)

Vì vậy, từ phương trình (5) và (6) ta có: những điểm cực trị có điều kiện sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (I) \\ { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.$

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange: $F(x,y,{\lambda}) = f(x,y) + {\lambda}g(x,y)$

Khi đó các điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{array}{l} F_x^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}} = 0 \qquad (II) \\ F_y^{'} = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}+{\lambda}{ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}} = 0 \\ F_{\lambda}^{'} = g(x,y) = 0 \\ \end{array} \right.$

Từ (I) và (II) ta nhận thấy: những điểm dừng của hàm Larrange có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, bài toán cực trị có điều kiện trở về bài toán cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây ${\lambda}$ chỉ đóng vai trò phụ và sau khi tìm được giá trị ${\lambda}$ thì không cần đến.

Điều kiện của cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange tại điểm $(x_0; y_0) :$

$d^2F = { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) (dx)^2 + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0)dxdy + { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0) (dy)^2$

trong đó: dx, dy không phải là những giá trị bất kỳ mà phải thỏa điều kiện:

${ \dfrac{{\partial}g}{{\partial}x}}(x_0;y_0) dx + { \dfrac{{\partial}g}{{\partial}y}}(x_0;y_0) dy = 0$ trong đó: $dx^2 + dy^2 \ne 0$

Nếu $d^2 F > 0$ với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện.

Nếu $d^2 F < 0$ với mọi giá trị có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc xét dấu vi phân cấp 2 hơi phức tạp. Khi đó, ta có thể áp dụng kết quả sau:

Giả sử $(x_0;y_0)$ là 1 điểm dừng của hàm Larrange, ứng với giá trị ${\lambda}_0$ và đặt:

$A = F_{xx}^{''}(x_0;y_0); B = F_{xy}^{''}(x_0;y_0) ; C = F_{yy}^{''}(x_0;y_0); \\ D = g_x^{'}(x_0;y_0); E = g_y^{'}(x_0;y_0)$

Khi đó xét : $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & D & E \\ D & A & B \\ E & B & C \\ \end{array}\right|$

Nếu $\Delta > 0$ thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện tại $(x_0;y_0)$

Nếu $\Delta < 0$ thì hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện tại $(x_0;y_0)$

Thảo luận

30 bình luận về “Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)”

thầy ơi giải giúp e bài này với ạ
tìm cực trị của f(x,y,z)=4y-2z với giả thiết ràng buộc là 2x-y-z=2 và x^2+y^2=1

ThíchThích

Posted by Luyến | 28/04/2017, 23:25

Reply to this comment
Thầy ơi. Thầy giúp em giải câu hỏi này nhá Thầy…

Tìm cực trị của hàm z=x^3 + y^2 với điều kiện x^2 + y^2 =1.

Cảm ơn Thầy nhé..!!!

ThíchThích

Posted by LMH | 26/11/2014, 10:17

Reply to this comment
cám ơn thầy về bài viết trên .ở đây là trường hợp 2 biến em muốn hỏi vậy trường hợp 3 biến thì ta giải quyết như thế nào ạ !

ThíchThích

Posted by Vũ Văn Quyết | 30/12/2012, 14:51

Reply to this comment
Mot hinh hop cn ho phia tren co the tich 32cm khoi, hoi cac cach phai co do dai la bao nhieu de hop co dien tich xung quanh nho nhat. E rat me toan, mong thay giai giup e voi, thank u very much!

ThíchĐã thích bởi 1 người

Posted by Minh thang | 08/02/2012, 08:29

Reply to this comment
Bài toán tìm cực trị có điều kiện
em muốn hỏi là:
em đọc giải một số bài thấy người ta sau khi thay (x0,y0,z0) vào vi phân vấp 2 rồi sau đó họ lại xét điều kiện của dx,dy,dz. em ko hiểu để làm gỉ? em nghĩ là chỉ cần thay giá trị vào rồi so sánh với 0 là xong mà????

ThíchThích

Posted by công | 21/04/2011, 09:10

Reply to this comment
cho em hỏi, tại sao Delta > 0 thì điểm dừng đó là điểm cực đại với điều kiện ràng buộc tương ứng ạ

ThíchThích

Posted by hanh trinh | 21/03/2011, 18:53

Reply to this comment
Thưa thầy cho em hỏi một chút về giá trị định thức delta .
Ở trên em chỉ thấy nêu 2 trường hợp delta >0 và delta < 0 . Vậy nếu delta = 0 thì ta phải xử lí như thế nào với giá trị điểm dừng x1 ?

ThíchThích

Posted by Lê Văn Việt | 13/03/2011, 09:46

Reply to this comment
bài tập này hay đấy nhưng cần nhiều hơn để rèn luyện….
thank you………

ThíchThích

Posted by anh tuấn | 21/02/2011, 23:46

Reply to this comment
vâng.thầy có thể lấy vài ví dụ về các trương hợp của phương pháp Larange không ạ..
em cảm ơn thầy!!

ThíchThích

Posted by BK2.25 | 29/12/2010, 07:46

Reply to this comment
thầy có thể lấy cho chúng em thêm 1 ví dụ về dạng này không ạ. giả sử hệ F'(x) = 0 , F’ (y) = 0 va phi (x) = 0 vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị phải không ạ. em cảm ơn thầy !!!

ThíchThích

Posted by bk2.25k55 | 28/12/2010, 11:38

Reply to this comment
Thưa thầy cho em hỏi nếu “delta = 0” thì làm thế nào ạ?

ThíchThích

Posted by hoang hung | 08/12/2010, 22:07

Reply to this comment
thầy ơi, cho em hỏi cực trị địa phương và cực trị thì có điểm giống và khác nhau thế nào ạ? em cần gấp lắm! cảm ơn thầy!

ThíchThích

Posted by haukute | 21/05/2010, 02:22

Reply to this comment
- Khi nói hàm số đạt cực trị tại (x0.y0) nghĩa là ta phải ngầm hiểu là nó đạt cực trị địa phương tại điểm đó bởi lẽ xét cực trị tại (x0;y0) đó là xét giá trị hàm số tại điểm đó với những điểm nằm trong lân cận của (x0;y0) bán kính epsilon.
  
  ThíchThích
  
  Posted by 2Bo02B | 23/05/2010, 22:27
  
  Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Thảo luận

30 bình luận về “Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thảo luận

30 bình luận về “Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề