Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là biến các phép tính giải tích (như phép lấy đạo hàm, tích phân) thành các phép tính đại số. Như vậy, qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành một phương trình đại số.

I. Các hàm cơ bản:

1. Hàm bậc thang đơn vị:

Trong kỹ thuật ứng dụng, chúng ta thường xuyên ghi nhận được các hàm số mà giá trị của nó thay đổi đột ngột tại một thời điểm t xác định. Một ví dụ phổ biến là sự thay đổi điện áp của một mạch điện tại thời điểm t khi đóng hoặc ngắt mạch.

Thông thường, giá trị t = 0 luôn được chọn là thời điểm bắt đầu cho việc đóng hoặc ngắt điện áp. Quá trình đóng, ngắt mạch trên có thể mô tả bằng mô hình toán học bởi hàm bậc thang đơn vị (còn được biết đến với tên gọi là hàm Heaviside – tên của nhà Toán học, Vật lý học người Anh Oliver Heaviside )

Định nghĩa: Hàm bậc thang đơn vị (Hàm Heaviside), u(t), là hàm số được định nghĩa bởi:

Nghĩa là, u(t) là hàm theo biến thời gian t, và u nhận giá trị zero khi thời gian là âm (thời điểm trước khi ta đóng, mở mạch) và nhận giá trị 1 khi thời gian xác định dương (kể từ lúc ta đóng, mở mạch).

2. Hàm dời (hàm trễ) đơn vị:

Một hàm số nhận giá trị 0 cho đến thời điểm t = a và sau đó, nhận giá trị 1, thì đồ thị của nó có được chính là ta đã tịnh tiến đồ thị của hàm bậc thang đơn vị đi 1 khoảng là a. Như vậy, hàm số có thể được viết như sau:

Ví dụ: Xét hàm số

Biểu thức trên nghĩa là, hàm f(t) nhận giá trị 0 khi t< 3, và nhận giá trị 1 khi t > 3

Nhận xét:

Xét hàm số thì hàm số này chính là mô hình toán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóng mạch tại thời điểm t = a, và ngắt mạch tại thời điểm sau đó t = b. Khi đó, mạch điện sẽ có hiệu điện thế 1 volt trong khoảng b – a. Nghĩa là giá trị của hàm V(t) được xác định như sau:

Ví dụ: Với hàm ta có đồ thị sau:

3. Các ví dụ:

Viết các hàm dưới đây xác định theo hàm Heaviside:

1. Một nguồn 12 V được đóng mạch tại thời điểm t = 4s.

Trả lời:

Khi mạch điện được đóng mạch tại thời điểm t = 4s, thì trước thời điểm này hiệu điện thế của mạch sẽ ằng 0, và sau thời điểm này, hiệu điện thế của mạch là 12V. Do đó, ta cần sử dụng hàm u(t-4). Mặt khác, khi đóng mạch, thì mạch điện có hiệu điện thế 12 V nên chúng ta cần nhân hàm u(t-4) cho 12 (do giá trị của hàm u(t) bằng 1). Vậy:

Ta có đồ thị sau:

2. Biểu diễn hàm số sau dưới dạng hàm bậc thang đơn vị:

Trả lời:

Đồ thị của hàm số biểu diễn như sau: