Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm M_0(x_0;y_0) \in D

1. Định nghĩa:

Ta nói M_0(x_0;y_0) là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại \varepsilon _lân cận của M_o , B(M_0;\varepsilon) sao cho:

f(x_0,y_0) \le f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)

( f(x_0,y_0) \ge f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0) )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại \mathop M_0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại \mathop M_0

Nhận xét:

– Hàm số \mathop z = f(x;y) đạt cực tiểu (cực đại) tại \mathop M_0(x_0;y_0) nếu: {\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x;y_0+{\Delta}y) - f(x_0;y_0) \ge 0 (\le 0), \forall {\Delta}x , {\Delta}y

– Nếu \mathop {\Delta}f(x_0;y_0) thay đổi dấu khi {\Delta}x , {\Delta}y thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại M_0

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số z = x^3 + y^3 có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét \mathop N(0+{\Delta}x;0+{\Delta}y) là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

{\Delta}f(0;0) = f({\Delta}x;{\Delta}y) - f(0;0) = ({\Delta}x)^3 +({\Delta}y)^3

Với {\Delta}x > 0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0

Với {\Delta}x < 0 , {\Delta}y < 0 : {\Delta}f(0;0) < 0

Vậy {\Delta}f(0;0) thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm \mathop f(x,y) đạt cực trị (địa phương) tại M_0(x_0; y_0) \in D và nếu f có các đạo hàm riêng tại M_0(x_0; y_0) thì:

{ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại M_0(x_0;y_0) (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm g(x) =f(x,y_0) ta có: g(x) = f(x;y_0) \le g(x_0) = f(x_0;y_0) , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: g'(x_0) = 0

Mặt khác: g'(x_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) . Vậy: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Tương tự, nếu xét hàm h(y) = f(x_0;y) ta sẽ có: { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0

Điểm \mathop (x_0;y_o) mà tại đó { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0 , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số \mathop z = f(x;y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng \mathop M_0(x_0;y_0)

Đặt: A = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0)

Khi đó:

a. Nếu B^2 - AC < 0 A > 0 (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu B^2 - AC < 0 A < 0 (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu B^2 - AC > 0 thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu B^2 - AC = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: z = x^3 + y^3 - 3xy

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2


Thảo luận

56 thoughts on “Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

  1. thầy ơi cho em hỏi
    khi đenta > 0 , A > 0 thì hàm số đạt CT tại M(xo,yo)
    còn khi A = 0 thì sao ạ

    Liked by 1 person

    Posted by minh trân | 21/11/2016, 15:08
  2. Thầy ơi cho em hỏi bài này với ạ.
    Tìm cực trị của hàm hai biến f(x,y)=sin(x) + cos(y)

    Like

    Posted by Thùy Dương | 17/05/2015, 21:37

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 731 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: