1. CÁC VÍ DỤ MỞ ĐẦU:

Trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó, ta thường phải xác định rất nhiều thông số.

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi:

Như vậy, xác định được bán kính r và chiều cao h ta tính được thể tích V.

Ví dụ 2: Bài toán về con lắc toán học.

Cho một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳng thẳng đứng, dưới tác dụng của trọng lực. Nếu bỏ qua sức cản (lực ma sát, sức cản không khí…) thì phương trình chuyển động của chất điểm là:

; l bán kính, s0 biên độ.

Nghĩa là: sẽ xác định được vị trí của chất điểm M tại thời gian t:

Ví dụ 3: Tốc độ phân hủy của một chất bán rã tỉ lệ thuận với khối lượng của nó tại mỗi thời điểm. Khối lượng của chất bán rã còn lại sau thời gian t được xác định bởi:

trong đó: m0 khối lượng ban đầu, k hệ số phân rã, t thời gian.

Vậy:

Ví dụ 4: Tầm đi xa R của đường bay của viên đạn bắn ra với vận tốc ban đầu  từ nòng súng làm với đường nằm ngang một góc được xác định bởi:

.

2. ĐỊNH NGHĨA HÀM NHIỀU BIẾN:

Giả sử D là tập hợp của n số thực . Một hàm số thực f trên D là một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực . Ký hiệu: .

Khi đó: f là một hàm số của n biến số độc lập xác định trên D.

Trong trường hợp hàm hai biến, ta dùng ký hiệu z = f(x, y)

Tập hợp tất cả các giá trị làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miền xác định của hàm số f, ký hiệu .

Nếu tương ứng cặp giá trị (x, y) với 1 điểm M(x,y) trong mặt phẳng Oxy thì miền xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại những điểm đó hàm số được xác định. Vì vậy, miền xác định của hàm số hai biến thường được biểu diễn hình học.

Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm số.

Ví dụ: Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số:

Ta có miền xác định $ latex D_f = \left\{(x, y): 1 -x^2 -y^2 \ge 0 \right\} $. Đó là những điểm nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 1.

Biểu diễn hình học:

3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

3.1 Khoảng cách:

Giả sử là hai điểm trong . Khoảng cách giữa hai điểm ấy, ký hiệu là d(M,N), được cho bởi công thức:

3.2 Lân cận:

Cho là một điểm thuộc . Lân cận (bán kính hoặc – lân cận) của là tập hợp tất cả những điểm M của sao cho . Ký hiệu

3.3 Điểm trong: (Interrior point)

E là một tập hợp trong . Điểm được gọi là điểm trong (int) của E nếu:

(Vẽ hình minh họa)

3.4 Điểm biên: (Boundary point)

Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểm thuộc E và điểm không thuộc E. Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E ký hiệu

(Vẽ hình minh hoạ)

3.5 Tập mở: Tập E được gọi là mở (open set) nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

3.6 Tập đóng: Tập E được gọi là đóng (close set) nếu nó chứa mọi điểm biên của nó.

3.7 Tập bị chặn: Tập E được gọi là bị chặn (giới nội, bounded) nếu:

3.8 Tập liên thông: Tập E gọi là liên thông nếu mọi cặp điểm P1, P2 trong E luôn có một đường cong liên tục nối P1 và P2 và nằm hoàn toàn trong E.

Ví dụ: Trong mặt phẳng (Oxy) hãy tìm một số ví dụ về tập mở, tập đóng, tập bị chặn.

4. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM HAI BIẾN:

4.1 Đồ thị hàm nhiều biến: Đối với hàm nhiều biến số, ta chỉ có thể biểu diễn hình học, bằng vẽ đồ thị, hàm hai biến z = f(x,y).

Đồ thị của hàm số z = f(x,y) là tập hợp

Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là mặt z = f(x,y). Đây là một mặt cong trong không gian ba chiều với hệ tọa độ Decartes (Oxyz).

4.2 Đường mức: Tập hợp những điểm trong mặt phẳng mà tại đó hàm số f(x,y)f(x,y) = C gọi là đường mức của hàm f. có một giá trị hằng số

Đường cong này chính là hình chiếu thẳng đứng lên Oxy của giao đồ thị của hàm với mặt phẳng ngang z = C.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số và vẽ các đường mức f(x,y) = 0; f(x,y) = 51, f(x,y) = 75 trong mặt phẳng (Oxy).

Trong áp dụng thực tế, các bản đồ địa lý và khí tượng thuờng ở dạng tập các đường mức, chẳng hạn là các đường có cùng độ cao trong bản đồ địa hình, các đường đẳng áp, các đường đẳng nhiệt… trong bản đồ khí tượng.

Nhận xét: Tuy không biết được hình dạng của hàm 3 biến trong không gian, nhưng ta có thể dùng các đường mức để biểu diễn hình học hàm 3 biến. Thay cho các đường mức n =3 ta có các mặt mức.

5. CÁC MẶT CONG THÔNG DỤNG:

Ta đã biết đồ thị của hàm hai biến z= f(x,y) là mặt cong trong không gian ba chiều Oxyz. Bây giờ ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng.

5.1. Mặt phẳng: Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính: Ax + By + Cz + D = 0. (1)

Ở đây, vectơ n(A,B,C) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu biết vecto pháp tuyến và một điểm của mặt phẳng thì nó được xác định hoàn toàn và có phương trình:

Vậy phương trình bậc nhất (3 biến) là phương trình mặt phẳng, dạng tổng quát là (1). Phương trình bậc 2 tổng quát (của 3 biến) là:

5.2. Mặt bậc 2 suy biến:

Ta có các trường hợp đặc biệt, gọi là suy biến của phương trình (2) như sau:

Tập rỗng: ví dụ:

Một điểm: ví dụ:

Một đường thẳng: ví dụ:

Một mặt phăng: ví dụ:

Hai mặt phẳng song song: ví dụ:

Hai mặt phẳng giao nhau: thí dụ: .

Trong các mặt bậc 2 không suy biến, tức là mặt chính quy, thì các mặt sau đây, mà ta xét lần lượt, là quan trọng nhất.

5.3. Ellipsoid: là mặt có phương trình:

Ta thấy ngay là (x,y,z) thuộc mặt thì cũng thuộc mặt, nên mặt này đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ và do đó cũng đối xứng qua gốc tọa độ. Giao tuyến của nó với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ là các đường ellipse, hoặc là tập trống.

Chẳng hạn giao bởi mặt phẳng z = h sẽ là ellipse Nếu -c < h < c

Khi a = b ta được ellipse tròn xoay.

Khi a = b = c ta được mặt cầu.