Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-S

1. Phân thức hữu tỷ sơ cấp: New Update

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: \dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức. Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) (degP(x) < degQ(x)).

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

1. \dfrac{A}{{x - a}}

2. \dfrac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}},m \ge 1,m \in Z

3. \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + px + q}}, tam thức bậc hai x 2 + px + q không có nghiệm thực

4. \dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}},n \ge 1,n \in Z, x2 + px + q không có nghiệm thực. Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Tích phân phân thức hữu tỷ sơ cấp:

2.1 Ta xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên:

1. \int \dfrac{A}{x-a}dx = A.ln \left| {x-a}\right| + C

2. \int \dfrac{A}{(x-a)^m}dx = \dfrac{A}{1-m} \dfrac{1}{(x-a)^{m-1}} + C

3. \dfrac{A}{2}\ln ({x^2} + px + q) + \dfrac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}arctan\dfrac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }} + C

2.2 Ví dụ 1: Tính \int {\dfrac{{x + 1}}{{2{x^2} + 2x + 5}}dx}

Ta có:

\int\dfrac{x+1}{2x^2+2x+5}\, dx = \int\dfrac{ \dfrac{1}{4}(4x+2) + \dfrac{1}{2}}{2x^2+2x+5} \, dx = \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{(4x+2)dx}{2x^2+2x+5} + \dfrac{1}{2}. \int\dfrac{dx}{2x^2+2x+5}

= \dfrac{1}{4} ln (2x^2+2x+5) + \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{dx}{ \left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2}

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{4}\dfrac{2}{3}\arctan \left( {\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right) + C

= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{6}\arctan \left( {\dfrac{{2x + 1}}{3}} \right) + C

Ví dụ 2: Tính tích phân: \int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:

\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx

Hay:

{ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C

= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctan{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C

2.3 Tích phân dạng 4:

2.3.1 Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại 4: \int {\dfrac{{dt}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

I_n = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n} = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^n} \, dt = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2} \int\dfrac{t^2dt}{(t^2+a^2)^n}

= \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} - \dfrac{1}{2a^2}. \int\dfrac{td(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho \int {\dfrac{{td({t^2} + {a^2})}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}} . Ta có:

Đặt u = t ; dv = \dfrac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n} . Khi đó:

I_n = \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} + \dfrac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2(n-1)} \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} \\ = \dfrac{1}{2a^2(n-1)}. \dfrac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}} + \dfrac{1}{a^2}. \dfrac{2n-3}{2n-2}.I_{n-1}

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + {a^2}}}}

Ghi chú: Tích phân dạng trên, ta có thể chuyển về tích phân hàm lượng giác bằng cách đặt t = a.tanu

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{dx}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}

Áp dụng công thức trên với n = 3 và a = 1. Ta có:

I_3 = \dfrac{1}{2.1.2} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{1}{1} \dfrac{2.3-3}{2.3-2}I_2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{4} \left( {\dfrac{1}{2.1.1}\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{2.2-3}{2.2-2}I_1} \right)

Từ đó:

I_3 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{3}{8}arctanx + C

Do: I_1 = \int\dfrac{dx}{x^2+1} = arctanx + C

2.3.2 Tích phân dạng 4:

Cần tính \int {\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}}} dx, \dfrac{{{p^2}}}{4} - q < 0

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

\int\dfrac{\dfrac{A}{2}(2x+p)+ \left( {B - \dfrac{Ap}{2}} \right)}{(x^2+px+q)^n}\,dx = \dfrac{A}{2}. \int\dfrac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+ \left( {B-\dfrac{Ap}{2}} \right) \int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^2}

Như vậy, tích phân cần tính được tách thành 2 tích phân, trong đó:

– Dễ dàng tính tích phân thứ nhất.

– Với tích phân thứ hai:

\int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\dfrac{dx}{ \left[ { \left( {x+\dfrac{p}{2}} \right)^2 + \left( {q-\dfrac{p^2}{4}} \right)} \right]^n} = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}

Với t = x + \dfrac{p}{2} ; a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} (do p2 – 4q < 0)

Ví dụ: tính \int {\dfrac{{3x + 2}}{{{{({x^2} + 2x + 10)}^2}}}dx}

Thảo luận

51 thoughts on “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

  1. vâng, em làm được rồi. Em cám ơn thầy a. Thầy tuyệt vời quá!

    Số lượt thích

    Posted by doantrang | 14/11/2009, 07:26
  2. Thầy ơi, dạng mà trên tử bằng 1, mẫu là tích của nhiều hàm số thì làm thế nào ah? Ví dụ như tích phân của 1/((x+1)^3*(x-1)^2)

    Số lượt thích

    Posted by doantrang | 13/11/2009, 08:35
  3. Hay ghê. Cách này mình chưa biết. May quá hum nay đọc được. Thế là tìm ra cách giải mới nữa gùi hj`j`j

    Số lượt thích

    Posted by nguyen van quy | 03/07/2009, 19:31
  4. xin cac ban giup do tinh dum tich phan xac dinh :tri tuyet doi cua cosx – sinx lay can tu 0 den 2 pi.

    Số lượt thích

    Posted by hoaivu | 02/06/2009, 19:20
    • Bài này nếu bạn xét dấu của |cosx – sinx| thì sẽ khá dài.
      Ở đây ta nhận xét:
      |cos(x+\pi)-sin(x+\pi)|=|-cosx-(-sinx)|=|sinx-cosx|=|cosx-sinx|
      Vậy: \int\limits_{\pi}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx = \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Do đó: \int\limits_{0}^{2\pi} |cosx-sinx| \, dx =2 \int\limits_0^{\pi} |cosx-sinx| \, dx
      Tới đây bạn bung trị tuyệt đối sẽ có 2 tích phân 1 tích phân từ 0 đến pi/4 và 1 tích phân từ pi/4 đến pi

      Số lượt thích

      Posted by Vũ Hoàng | 03/06/2009, 08:09
    • Đơn giản thui. Cậu chỉ cần giải cosx – sinx để tìm nghiệm của nó. Sau đó, cậu xét dấu trên các khoảng và tách ra làm 2 tích phân. Nếu khoảng nào âm thì cậu đổi dấu đằng trước, còn nếu dương thì cậu giữ nguyên dấu.

      Số lượt thích

      Posted by nguyen van quy | 03/07/2009, 19:34
  5. Bài này chỉ cần đặt x = tgt là ra kết quả rồi mà. Bạn làm thử xem nhé.

    Số lượt thích

    Posted by Vũ Hoàng | 13/05/2009, 10:47
  6. Thầy ơi, giúp em bài này với nhé: tính tích phân bất định sau: tich phan dx/((x^2)+1))^2

    Số lượt thích

    Posted by cuong xc01 | 13/05/2009, 10:39
  7. thay oi e van k hiu khi cho x>=0 la nhu the nao.trong cac truong hop lay tich phan nhu vay thi can duoi co phai chinh la gia tri nho nhat do k?
    mong thay giai cu the jup e.e dang can lam a.
    hixhix

    Số lượt thích

    Posted by cuong xc01 | 06/05/2009, 23:56
  8. Thầy ơi, em gặp phải bài tính diện tích hình phẳng như thế này. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x >=0 , y = 0 , y = |sinx|.e^{-x}
    Em ko biết phải lấy cận của tích phân này như thế nào. Thầy giúp em với nhé. Em cảm ơn Thầy.

    Số lượt thích

    Posted by cuong xc01 | 05/05/2009, 10:19
  9. Tích phân này không thể tính được thông qua các hàm số sơ cấp, mà phải tính dựa vào các kết quả của tích phân beta trong phần tích phân phụ thuộc tham số, hoặc dùng phương pháp số để tính gần đúng (trong trường hợp tích phân xác định trên [a;b])

    Số lượt thích

    Posted by 2Bo02B | 16/02/2009, 22:10
  10. thưa thầy cho em hỏi bài này: làm thế nào tìm nguyên hàm của
    tích phân của dx/(e^(x^2)) dc ạh
    em cám ơn thầy nhìu

    Số lượt thích

    Posted by moneynghia | 16/02/2009, 21:18
  11. Cảm ơn thầy vì những bải giảng này .Trang web rất bổ ích .

    Số lượt thích

    Posted by LanAnh | 11/02/2009, 17:22
  12. What a great site!Thank you !!!!
    =====

    Số lượt thích

    Posted by Paul Andre | 24/01/2009, 15:19

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 764 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: