Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:

(L1): (tính bảo toàn phép cộng)

(L2) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.

– Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

là ánh xạ tuyến tính

2. Tính chất:

Cho là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:

1.

2.

Chứng minh:

1. Ta có:

Suy ra: (*)

Mặt khác: (**)

Do đó, từ (*), (**) ta có:

2. Ta có:

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.

3.4 Phép lấy tích phân xác định:

là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.

3.5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích của 2 ánh xạ tuyến tính và lại là 1 ánh xạ tuyến tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Nghĩa là: là 1 ánh xạ tuyến tính và là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.

Ngược lại, nếu hệ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ độc lập tuyến tính trong V.

Chứng minh: Do phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một sao cho:

Suy ra:

Hay: (*)

Vậy tồn tại ít nhất một sao cho (*) xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:

5.1 Ví dụ mở đầu:

Cho là một ánh xạ tuyến tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự:

Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).

Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của

5.2 Định lý:

Cho một cơ sở của không gian vec-tơ n chiều V và là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:

Ta đặt:

Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên

Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: .

Ta cần chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Do đó:

Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính mà

Khi đó: với mọi ta có:

Vậy f = g, hay f duy nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong xét cơ sở chính tắc và trong cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính sao cho:

5.3.2 Trong không gian cho hai hệ vec-tơ:

Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên sao cho ( ). Nếu có, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho là ánh xạ tuyến tính.

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

Xác định kerf và imf?