Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

3. Tích phân các phân thức hữu tỷ:

3.1 Integration by partial fractions: Ta sẽ tính tích phân các phân thức hữu tỷ nhờ phương pháp phân tích phân thức thành tổng của các phân thức hữu tỷ thật sự.

Xét phân thức hữu tỷ \dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}} (1)

– Nếu (1) là phân thức hữu tỷ không thật sự thì ta có thể đưa về dạng phân thức thật sự bằng cách chia tử cho mẫu. Khi đó:\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}} = S(x) + \dfrac{{R(x)}}{{Q(x)}}, S(x), R(x) là các đa thức và degR(x) < degQ(x).

– Nếu Q(x) = {(x - a)^\alpha }.{(x - b)^\beta }.{({x^2} + px + q)^n}.{({x^2} + lx + s)^m}, (a, b là các nghiệm thực, x2 + px + q và x2 + lx + s không có nghiệm thực, α, b, m. n là các số tự nhiên) thì:

\begin{array}{ll} \dfrac{P(x)}{Q(x)} & = \dfrac{A_1}{(x-a)} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \dfrac{A_3}{(x-a)^3} + ... + \dfrac{A_{\alpha}}{(x-a)^{\alpha}} \\ & + \dfrac{B_1}{(x-b)} + \dfrac{B_2}{(x-b)^2} + \dfrac{B_3}{(x-b)^3} + ... + \dfrac{B_{\beta}}{(x-b)^{\beta}} \\ & + \dfrac{C_1x+D_1}{x^2+px+q} + \dfrac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2} + \dfrac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3} + ... + \dfrac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n} \\ & + \dfrac{E_1x+F_1}{x^2+lx+s} + \dfrac{E_2x+F_2}{(x^2+lx+s)^2} + \dfrac{E_3x+F_3}{(x^2+lx+s)^3} + ... + \dfrac{E_mx+F_m}{(x^2+lx+s)^m} \\ \end{array}

Để tìm các hệ số A1, A2,…,Aα, B1, B2, …, Bb, C1, C2,…, Cn, D1, D2,…, Dn, E1, E2,…, Em, F1, F2,…, Fm ta có thể tính theo 2 cách:

Cách 1: Nhân hai vế cho Q(x), rút gọn các số hạng đồng bậc ở vế phải, sau đó cho đồng nhất hệ số hai vế.

Cách 2: Sau khi nhân hai vế cho Q(x), ta cũng có thể cho x các giá trị khác nhau để xác định giá trị của các hệ số.

Ví dụ 1: Tính tích phân thức: \int\dfrac{x+1}{x^3 + x^2 - 6x} \, dx .

Phân tích mẫu số ta có: x^3+x^2-6x = x(x^2+x-6) = x(x-2)(x+3)

Do vậy, phân thức \dfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} có thể viết dưới dạng:

\dfrac{x+1}{x(x-2)(x+3)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+3}

Quy đồng mẫu số ta có:

x+1 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2) (*)

Xác định hệ số A, B, C:

Cách 1: đồng nhất hệ số 2 vế

Ta có: x+1 = (A+B+C)x^2+(A+3B-2C)x-6A

Suy ra: \left\{\begin{array}{ll} A+B+C & = 0 \\ A+3B-2C & = 1 \\ -6A & = 1 \\ \end{array} \right. (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được: A = \dfrac{-1}{6} ; B = \dfrac{3}{10} ; C = \dfrac{-2}{15}

Cách 2:cho những giá trị cụ thể

– Thế x = 0 vào (*) ta có: 1 = A(-2)(3) + B(0)(3) + C(0)(-2) \Rightarrow A = -\dfrac{1}{6}

– Thế x = 2 vào (*) ta có: 3 = A(0)(5) + B(2)(5) + C(2)(0) \Rightarrow B = \dfrac{3}{10}

– Thế x = -3 vào (*) ta có: -2 = A(1)(0) + B(-3)(0) + C(-3)(-5) \Rightarrow C = -\dfrac{2}{15}

Như vậy:

\dfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} = \dfrac{-1}{6}. \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{10}. \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{-2}{15}. \dfrac{1}{x+3}

(Bạn cũng có thể tham khảo thêm mẹo phân tích nhanh 1 phân thức để nhẩm nhanh kết quả)

Khi đó:

\begin{array}{ll} \int\dfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} \, dx & = \int \left( {-\dfrac{1}{6}. \dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{10}. \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{2}{15}. \dfrac{1}{x+3}} \right) \, dx \\ & = -\dfrac{1}{6}.ln|x| + \dfrac{3}{10}.ln|x-2| - \dfrac{2}{15}.ln|x+3| + C \\ \end{array}

Ví dụ 2: Tính tích phân thức: \int\dfrac{3x+5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx .

Phân tích mẫu số ta có: x^3-x^2-x+1 = (x+1)(x-1)^2

Do vậy, phân thức \dfrac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} có thể viết dưới dạng:

\dfrac{3x+5}{(x+1)(x-1)^2} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{(x-1)^2}

Quy đồng mẫu số ta có:

3x+5 = A(x-1)^2+ B(x-1)(x+1) + C(x+1) (**)

– Thế x = 1 vào (**) ta có: 8 = A(0) + B(0)(2) + C(2) \Rightarrow C = 4

– Thế x = -1 vào (**) ta có: 2 = A(4) + B(-2)(0) + C(0) \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}

– Để tính B, ta có thể thế 1 giá trị khác vào (**). Tuy nhiên, ở đây ta sẽ so sánh hệ số của x2 ở 2 vế của (**). Ta có: ở vế trái bằng 0, ở vế phải bằng A + B. Nên: A + B = 0. Mà: A =\dfrac{1}{2} nên B=-\dfrac{1}{2}

Như vậy:

\dfrac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} = \dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x-1} + 4. \dfrac{1}{(x-1)^2}

Khi đó:

\begin{array}{ll}\int\dfrac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} \, dx & = \int \left( {\dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x-1} -4. \dfrac{1}{(x-1)^2}} \right) \, dx \\ & = \dfrac{1}{2}.ln|x+1| -\dfrac{1}{2}.ln|x-1| - 4. \int\dfrac{dx}{(x-1)^2} \\ \end{array}

Áp dụng tích phân hữu tỷ dạng 2 ta có:

\int\dfrac{dx}{(x-1)^2} = \int(x-1)^{-2} dx = -(x-1)^{-1} = -\dfrac{1}{x-1}

Vì vậy: \int\dfrac{3x+5}{x^3-x^2-x+1} dx = \dfrac{1}{2}.ln \left| {\dfrac{x+1}{x-1}} \right| + \dfrac{4}{x-1} + C

Ví dụ 3: Tính tích phân \int\dfrac{x+1}{x^3(x-2)^2} \, dx

Ta biểu diễn phân thức \dfrac{x+1}{x^3(x-2)^2} dưới dạng sau:

\dfrac{x+1}{x^3(x-2)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x^3} + \dfrac{D}{(x-2)} + \dfrac{E}{(x-2)^2}

Quy đồng mẫu số, ta có:

x+1 = Ax^2(x-2)^2 + Bx(x-2)^2 + C(x-2)^2 + Dx^3(x-2) + Ex^3

Đồng nhất hệ số 2 vế ta có:

x+1 = (A+D)x^4 + (-4A+B-2D+E)x^3+(4A-4B+C)x^2+(4B-4C)x+4C

Hay:

\left\{\begin{array}{ll} A+D & = 0 (1) \\ -4A+B-2D+E & = 0 (2) \\ 4A - 4B + C & = 0 (3) \\ 4B-4C & = 1 (4) \\ 4C & = 1 (5) \\ \end{array} \right.

Từ (5) ta có: C = \dfrac{1}{4} \underset{\Rightarrow}{(4)} B = \dfrac{1}{2} \underset{\Rightarrow}{(3)} A = \dfrac{1}{4} \underset{\Rightarrow}{(1)} D =\dfrac{-1}{4} \underset{\Rightarrow}{(2)} E = \dfrac{3}{8}

Từ đó ta có:

I_3 = \int\dfrac{x+1}{x^3(x-2)^2} \, dx = \dfrac{1}{4} ln|x| - \dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{8}. \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{4}. ln|x-2| - \dfrac{3}{8}. \dfrac{1}{x-2} +C

Hay:

I_3 = \dfrac{1}{4} \left| {\dfrac{x}{x-2}} \right| - \dfrac{4x+1}{8x^2} - \dfrac{3}{8}. \dfrac{1}{x-2} + C

Ví dụ 4: Tính tích phân: \mathop\int\dfrac{(x-1)dx}{x(x^2+1)(x^2+2)}

Ta biểu diễn phân thức dưới dạng sau:

\dfrac{x-1}{x(x^2+1)(x^2+2)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx+C}{x^2+1} + \dfrac{Dx+E}{x^2+2}

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số 2 vế, ta có:

\left\{\begin{array}{ll} A+B+D & = 0 \\ B+E & = 0 \\ 3A+C+D & = 0 \\ 2C+E & = 1 \\ 2A & = -1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} A = & - \dfrac{1}{2} \\ B = & -1 \\ C = & 0 \\ D = & \dfrac{3}{2} \\ E = & 1 \\ \end{array} \right.

Vì vậy:

\dfrac{x-1}{x(x^2+1)(x^2+2)} = - \dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{1}{2}. \dfrac{3x+2}{x^2+2}

Cho nên:

\mathop I_4 = \int\dfrac{(x-1)dx}{x(x^2+1)(x^2+2)} = -\dfrac{1}{2}ln|x| -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x.dx}{x^2+1} + \dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{2} \int\dfrac{2x.dx}{x^2+2} + \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2dx}{x^2+2}

Áp dụng công thức tích phân dạng 3 ta có:

I_4 = -\dfrac{1}{2}ln|x| -\dfrac{1}{2} ln|x^2+1| + \dfrac{3}{4} ln|x^2+2| + \dfrac{\sqrt{2}}{2}. arctan \left( {\dfrac{x}{\sqrt{2}}} \right) + C

Thảo luận

51 thoughts on “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

  1. Thầy giúp em giải bài này : tích phân từ 0 đến 1 của (2x+1)/(x^2-4x+4)dx

    Số lượt thích

    Posted by thư | 06/05/2014, 07:26
  2. Thay oj gjup e gjaj tich phan nay dx/(x^2 -2x+ 2012)

    Số lượt thích

    Posted by Hoang anh | 17/09/2012, 12:01
  3. Cám ơn Thầy rất nhiều !

    Số lượt thích

    Posted by nguyentuminh | 22/06/2012, 00:14
  4. thay giup em tinh tich phan (x-1)/(x^2(x^2-1) voi!em cam on thay!

    Số lượt thích

    Posted by thien tung | 27/05/2012, 21:15
  5. Thầy tính dùm em bài nguyên hàm \dfrac{1}{x^8+1} với. Có cách nào hay ko mà em làm dài quá

    Liked by 1 person

    Posted by linhlinhlinh | 22/05/2011, 10:47
  6. Thầy ơi! Bài tập này phải giải sao đây! Tính tích phân (x^2-8x+7)/(x^2-2x-10)^2. Em làm hoài mà nó không ra được! Em cảm ơn!

    Số lượt thích

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 04/01/2011, 19:23
  7. Your RSS feed doesn’t work in my browser (google chrome) how can I fix it?

    -Bruno

    Số lượt thích

    Posted by bruno mars | 06/05/2010, 08:11
  8. Thầy ơi, giúp em với. Tính tích phân bất định của x^4/(x^4+5x^2+4). Em cảm ơn thầy.!

    Số lượt thích

    Posted by Doremon | 19/03/2010, 00:46
  9. Wow,super site here!

    Số lượt thích

    Posted by new years eve san francisco 2010 | 19/12/2009, 01:22

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 764 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: