Euler đã làm điều đó như thế nào: Xấp xỉ Bài toán Basel

Nguồn: http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2003-12.pdf

Tác giả: Ed Sandifer (*)

Trong cuộc đời của những người nổi tiếng, chúng ta thường có thể xác định được những điều đầu tiên đã làm cho họ trở nên nổi tiếng. Như Thomas Edison, đó là phát minh ra máy hát đĩa năm 1877. Hay với Abraham Lincoln, điều đầu tiên làm nên tên tuổi của ông là cuộc tranh luận Lincoln- Douglas vào năm 1858, mặc dù Steven A. Douglas thắng cử thượng nghị viện Mỹ chứ không phải Abraham Lincoln.

Thành tích nổi tiếng đầu tiên của Leonhard Euler là lời giải cho bài toán Basel vào năm 1735. Bài toán đó là tìm kết quả chính xác cho giá trị của tổng các bình phương của các nghịch đảo của các số nguyên, đó là:

.

Bill Dunham [D] đã đưa ra lời giải tuyệt vời của  Euler trong cuốn sách Euler The Master of Us All, được xuất bản bởi MAA vào năm 1999. Đáp số cho lời giải của bài toán đã được Euler tím ra vào năm 1730 bằng phương pháp xấp xỉ tích phân.

Pietro Mengoli (1625-1686) đặt ra bài toán Basel vào năm 1644. Và bài toán trở nên nổi tiếng khi Jakob Bernoulli viết về nó vào năm 1689. Jakob – anh trai của Johann Bernoulli (thầy giáo của Euler) – đã đưa bài toán này cho ông. Vào thập niên 1730, bài toán  này thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học và nó cũng thần bí giống như định lý cuối cùng của Fermat trước năm 1993.

Năm 1730 Euler là quan tâm đến các vấn đề mà ông gọi là “nội suy của chuỗi số”. Trong quá trình xác định các giá trị nguyên, ông tìm cách mở rộng các định nghĩa cho các giá trị không nguyên. Ví dụ, ông đã mở rộng thêm chuỗi hypergeometric mà ngày nay chúng ta gọi là hàm giai thừa: để làm việc với các giá trị phân số. Các hàm mà ông đưa ra, ngày nay được gọi là hàm Gamma.

Trong bài báo mang chỉ số E20, Euler đã làm điều tương tự đối với tổng riêng phần của chuỗi điều hòa:

.

Với tổng riêng phần của số hạng đầu tiên của chuỗi này là 1 và tổng riêng phần của 2 số hạng đầu tiên là và tổng riêng phần của ba số hạng đầu tiên là , …, và ông đã ký hiệu cho tổng riêng phần của n số hạng đầu tiên. Euler đã tìm tổng của chuỗi trên bằng cách sử dụng phương pháp tích phân và chuỗi hình học.

Đầu tiên, Euler nhớ lại công thức cho tổng riêng phần thứ n của chuỗi hình học:

.

Ở đây, n là số số hạng, và các công thức có thể được áp dụng cho bất kỳ giá trị của n, kể cả khi n không nguyên.

Bây giờ, Euler lấy tích phân 2 vế:

Hay:

Với hầu hết các giá trị của n thì việc tính tích phân ở vế phải là khá khó khăn. Euler tìm cách giải quyết bài toán bằng 1 kỹ thuật mới.

Nếu lấy tích phân thêm 1 lần nữa thì ta có: vế trái sẽ là:

Bây giờ mẫu số của các số hạng là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Và như thế, bài toán Basel dường như gần gần giống như vậy. Ông quyết định chia biểu thức cho x trước khi lấy tích phân:

Như vậy, tổng này đã trở về bài toán Basel với x = 1. Khi đó, Euler không có một ký hiệu tốt cho tích phân kép, vì vậy ông đã viết kết quả như sau:

Sau này, với tích phân bội hai, tích phân trên của Euler được viết lại thành:

Tuy vậy, việc tính tích phân này rất khó khăn. Euler đã dùng một số kỹ thuật tính xấp xỉ để tìm giá trị gần đúng cho tích phân này là: 1.644924. Con số này không có nhiều ý nghĩa đối với nhiều người, nhưng bằng những kỹ năng khác nhau, Euler đã nhận thấy giá trị này rất gần với giá trị

Bằng kết quả và hướng dẫn này của Euler, nhà toán học Armed đã tìm chính xác giá trị của bài toán Basel là bằng chuỗi hàm lượng giác, mà sau này, chúng ta thường gọi là chuỗi Fourier.

——————

[D] Dunham, William, Euler The Master of Us All, MAA, Washington, D.C., 1999