Bài giảng, Toán học

Giải phương trình bậc 4 tổng quát

Xét phương trình bậc bốn:

x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 \qquad (1)

(1) {\Leftrightarrow} {x^{4} + ax^{3} = - bx^{2} - cx - d}

{\Leftrightarrow}{x^{4} + ax^{3} + { \frac{a^{2}x^{2}}{4}}= {({ \frac{a^{2}}{4}}- b)}x^{2} - cx - d}

{\Leftrightarrow}{(x^{2} + { \frac{ax}{2}})^{2} = {({ \frac{a^{2}}{4}}- b)}x^{2}- cx - d} (*)

Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:

Cộng hai vế của phương trình (*) cho (x^{2} + { \frac{ax}{2}}).y + { \frac{y^{2}}{4}} . Ta có:

{(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})^{2}+(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}= (x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}+{({ \frac{a^{2}}{4}}-b)}x^{2}-cx-d}

{\Leftrightarrow}{(x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y}{2}})^{2}=(x^{2}+{ \frac{ax}{2}})y+{ \frac{y^{2}}{4}}+{({ \frac{a^{2}}{4}}-b)}x^{2}-cx-d} (**)

Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là  biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu  thức chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết). Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.

Hay: \Delta = ({ \frac{ay}{2}}-c)^{2} - 4({\frac{a^{2}}{4}}-b+y).({ \frac{y^{2}}{4}}-d) = 0

Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:

y^{3} -by^{2}+(ac-4d)y-[d(a^{2}-4b)-dy] = 0 (***)

Với giá trị y_{0} vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng ({\alpha}x+{\beta})^{2}

Do đó, thế y_{0} vào phương trình (**)  ta có:

 {(x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}})^{2}}={ ({\alpha}x+{\beta})^{2}} (****)

 Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:

{x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}}}={ {\alpha}x+{\beta}} (a)

 {x^{2}+{ \frac{ax}{2}}+{ \frac{y_{0}}{2}}}={ -{\alpha}x-{\beta}} (b)

Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu.

P/s: từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x. Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1). Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm (thực hoặc phức). Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và y2. Vì vậy, từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ.

 

 

About these ads

About Nguyen Vu Thu Nhan

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

32 thoughts on “Giải phương trình bậc 4 tổng quát

  1. có cách nào giải mà ít bị rối hơn không? haiz…bực bội nhất là khi gặp phương trình bậc ba hoặc bậc bốn mà không chinh phục được …haiz

    Like

    Posted by pé Trâm | 07/03/2012, 19:37
  2. Cho mình hỏi còn cách giải nào nữa không vậy? vd như là giải bằng phương pháp lượng giác chẳng hạn. Thanks

    Like

    Posted by Hồ Huy Thạch | 21/10/2011, 22:48
    • Đây là phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc 4 dựa trên nguyên tắc đưa về lại phương trình bậc 3.
      Tương tự dùng phương pháp Cardano đưa về phương trình bậc 2.
      Phương pháp này vừa tổng quát vừa sơ cấp còn muốn đưa về lượng giác thì bạn có thể dùng phương pháp lượng giác giải phương trình bậc 3 rồi thay vào cũng được.

      Like

      Posted by ldn28593 | 21/01/2012, 22:53
  3. nếu ở pt chính phương có 3 nghiệm thực thì thay vào pt (*) ta có 4 nghiệm khác nhau. Vậy ta phải làm thế nào

    Like

    Posted by ?ls | 13/06/2011, 15:18
  4. Have you considered adding some relevant links to the article? I think it will really enhance everyone’s understanding.

    Like

    Posted by cosyaposopy | 13/01/2011, 13:33
  5. Thật là khó hiểu?

    Like

    Posted by dong duy vu | 09/01/2011, 16:04
  6. Bạn ơi phương trình tìm nghiệm y nó làm sao ấy ? Phân tích nó không ra phương trình ấy.

    Like

    Posted by Thai | 31/10/2010, 10:33
    • Thầy ơi ! Phương trình nghiệm của Y hình như nó không phải vậy, em tính hoài mà không ra. Y phải là nghiệm của phương trình này: y^3 – by^2 – (4d+ac)Y + c^2 – a^2d +4bd = 0. Thầy xem lại dùm em, em cảm ơn Thầy !

      Like

      Posted by Kiều Ny | 11/08/2012, 21:27
  7. hơi rắc rối nhỉ

    Like

    Posted by cÒi | 26/10/2010, 20:59
  8. Tại sao lại biết tìm giá trị của y cho biểu thức vp là chính phương

    Like

    Posted by Minh | 11/08/2010, 08:25
  9. kho huiu wa
    giai dum em pt x^4-3x^2-2×-59=0

    Like

    Posted by trung | 06/06/2010, 20:15
    • Cái này dễ
      chèn thêm ẩn phụ m;
      PT: x^4=ax^2+bx+c

      (x^2+m)^2=(2m+a)^2+bx+c+m^2

      Chuyển Vế trái về phương trình chính phương. Nghĩa là pt bậc 2 theo a có nghiệm kép, nghĩa là Delta =0 =>m
      ok!

      Like

      Posted by MTH | 13/03/2012, 20:42
  10. Cho em hoi, bieu thuc chinh phuong no la gi vay ?

    Like

    Posted by Player | 03/03/2010, 22:56
  11. Hi, as you can see this is my first post here.
    Hope to get any help from you if I will have some quesitons.
    Thanks in advance and good luck! :)

    Like

    Posted by skarface | 27/02/2010, 11:21

Trackbacks/Pingbacks

  1. Pingback: Cách giải phương trình bậc 4 tổng quát | minhdeptrai26 - 21/09/2011

  2. Pingback: Phương trình bậc ba tổng quát... - THPT Chuyên Hưng Yên - 10/06/2009

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 989 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Thanh Ly on Dạ thưa cô, 10 ạ!
Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 989 other followers

%d bloggers like this: