Thảo luận về tích phân bội

Thảo luận

37 bình luận về “Thảo luận về tích phân bội”

  1. em đã đăng bài này nhưng chưa thấy trả lời mong thầy giúp đỡ , cho miền D={0<=x<=1, x^2<=y<=x} tích diện tích miền đó , đề bài bắt chuyển từ hệ toạ độ đecác sang toạ độ cực rồi sao đối đổi thứ tự , em làm theo r trước phi sau thì dễ nhưng khi làm ngược lại em ko thể xác định được phi monh thầy giúp .

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by faregas2007 | 17/04/2010, 22:23
    Reply to this comment

    • Với miền D như trên thì em dễ dàng có được: 0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{4}; 0 \le r \le \dfrac{sin{\varphi}}{cos^2{\varphi}}
      khi xác định theo \varphi trước thì khoảng giới hạn của r phải là hằng số.
      Từ miền D em dễ xác định 0 \le r \le \sqrt{2}
      Giờ chỉ còn cận của \varphi : từ điều kiện trên em có: r(1-sin^2{\varphi}) \le sin{\varphi}
      Hay: r.sin^2{\varphi} + sin{\varphi} - r \ge 0
      Giải bất phương trình này, em sẽ tìm được cận của \varphi

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 21/04/2010, 21:45
      Reply to this comment

  2. Thầy ơi, cho em hỏi cách tính cụ thể để hình thành các công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu được không ạ? Em đã thử tính (dùng tích phân kép và tích phân bội 3) nhưng không thành công. Cụ thể là em muốn tính thiết lập công thức tính diện tích và thể tích của hình cầu bán kính là R, tâm ở gốc tọa độ. Mong được thầy giúp đỡ!

    Thích

    Posted by Thành | 26/03/2010, 09:19
    Reply to this comment

  3. thầy em cho một hình trụ nằm ngang hai đầu là 2 chỏm cầu(giống như bình chứa nước SƠN HÀ ấy).thầy bắt tính thể tích chất lỏng(nước) trong bình khi mực nước trong bình co chiều cao là H.”Các thông số về kích thước tự cho).mai em phai nộp rồi.huhhhu—-

    Thích

    Posted by hung | 18/11/2009, 21:04
    Reply to this comment

  4. thầy ơi,giải giúp em bài này ạ:tính diện tích phần mặt nón x^2=y^2+z^2 nằm trong mặt trụ x^2-y^2=a^2 và các mặt phẳng y=b và y=-b(a>0,b>0).bài này không cần chuyển qua tọa độ cực phải ko thầy? em cảm ơn thầy nhiều ạ!

    Thích

    Posted by hai yen | 22/10/2009, 22:12
    Reply to this comment

    • bài này mình nghĩ thế này: nên đưa về về hàm x(y,z)sẽ dễ hơn, đồ thị của miền V được giới hạn bởi hai mặt phẳng y=+-b, 2 mặt cong hyperbol x = \pm \sqrt {y^2 + a^2 }
      đối xứng qua mặt phẳng yOz, đồng thời 2 mặt nón $ x = \pm \sqrt {y^2 + z^2 } $
      cũng đối xứng qua yOz, nên diện tích cần tính sẽ = 2 diện tích giới hạn trong miền x \ge 0
      thế pt x^2=y^2+a^2 vào pt x^2=y^2+z^2 ta có z = \pm a
      như thế miền D trên mp zOy sẽ là hình chữ nhật giới hạn bời y=+-b và z=+-a
      \begin{array}{l} I = 2\int\limits_{ - a}^a {dz\int\limits_{ - b}^b {\sqrt {1 + \dfrac{{z^2 }}{{z^2 + y^2 }} + \dfrac{{y^2 }}{{z^2 + y^2 }}} } } dy \\ = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - a}^a {dz\int\limits_{ - b}^b {dy} } = 8\sqrt 2 ab \\ \end{array}
      có j xin thầy góp y thêm ạh

      Thích

      Posted by moneynghia | 24/10/2009, 11:03
      Reply to this comment

  5. thầy ơi,giải giúp em bài này với:tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y=0 và nhịp dầu tiên của cydiod:x=a(t-sint),y=a(1-cost)với t thuộc [0,pi].

    Thích

    Posted by hai yen | 11/10/2009, 21:49
    Reply to this comment

  6. Thầy ơi, giải giúp em bài này ạ: Tính thể tích vat the giới hạn bởi các mặt:y=0,z=0,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6.

    Thích

    Posted by hai yen | 10/10/2009, 23:38
    Reply to this comment

  7. Thầy ơi, trong bài tập bài tiểu luận hàm Gamma và hàm Beta, em có được tra luôn giá trị của Gamma(3/4) và Gamma(5/4) không thầy?

    Thích

    Posted by Phạm Hà Nguyên | 28/09/2009, 22:00
    Reply to this comment

  8. Thầy ơi cho em hỏi về công thức đổi biến trong tích phân bội 2: khi nào thì mình sử dụng công thức đổi biến ạ và cách tìm điều kiện của biến mới thế nào ạ.

    Thích

    Posted by aloha | 18/06/2009, 12:34
    Reply to this comment

    • Ta sử dụng công thức đổi biến trong trường hợp:
      1. Tịnh tiến miền lấy tích phân.
      2. Miền D giới hạn bởi 2 cặp đường cong có cùng tính chất.
      Ví dụ: miền D giới hạn bởi: x + y = a ; x + y = b (b > a) ; x – y = c ; x – y = d (d > c) thì đặt u = x + y, v = x – y, ngay khi đặt ta sẽ thấy ngay điều kiện của u,v.
      Hoặc miền D giới hạn bởi y = ax^2 ; y = bx^2 ; y =cx ; y = dx. Như vậy có 1 cặp parabol và 1 cặp đường thẳng. Vậy đặt u = y/x^2 và v = y/x.
      Mục đích của việc đổi biến là nhằm biến 1 tứ giác cong thành miền hình chữ nhật để dễ dàng xác định cận của tich phân.
      Không nên thực hiện đổi biến khi miền D giới hạn bởi những đường cong bất kỳ không có cùng tính chất. Vì khi đó có khả năng nó sẽ biến miền D thành miền D’ rất phức tạp.

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 18/06/2009, 13:06
      Reply to this comment

  9. Thầy ơi cho em hỏi về tích phân mặt 1 chút: Khi nào thì mình biết là nên dùng công thức Ostrogradsky, khi nào không vậy thầy. Có mẹo nào để dùng k zậy thầy ?

    Thích

    Posted by nga | 02/04/2009, 20:19
    Reply to this comment

    • Ta dùng công thức Ostrogradsky khi mặt S là mặt kín, các hàm P, Q ,R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền V giới hạn bởi (S). Thường mặt nào kín, hướng ra ngoài thì ta dùng công thức Ostrogradski sẽ nhanh và đỡ phức tạp hơn so với cách chiếu trục tọa độ hoặc chuyển về tích phân mặt loại 1.
      Vậy nếu mặt không kín thì ta bổ sung cho nó kín, rồi trừ ra phần bổ sung. Còn nếu các hàm P,Q, R không thỏa điều kiện thì không thể dùng được.
      Ví dụ I = \int\int\limits_S x^2dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy với S là phía ngoài mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = a^2
      Nhận thấy S là phía ngoài mặt kín , P, Q, R là đa thức nêu thỏa mãn điều kiện Ostrogradski, như vậy dễ dàng chuyển tích phân mặt về tích phân 3 lớp mà khỏi cần chú ý hướng của vecto pháp tuyến. Khi đí:
      I = 2 \int\int\limits_{V}\int (x+y+z)dxdydz với V: x^2 + y^2 + z^2 \le a^2
      Dể dàng có tích phân này bằng 0.
      Lý do miền V đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ, x là hàm lẻ nên:
      \int\int\limits_{V}\int xdxdydz = 0
      Tương tự: \int\int\limits_{V}\int ydxdydz = \int\int\limits_{V}\int xdxdydz = 0
      Ví dụ I = \int\int\limits_S { \dfrac{dydz}{x}} + { \dfrac{dzdx}{y}} + { \dfrac{dxdy}{z}} với S là phía ngoài mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = a^2
      thì dù S là mặt kín nhưng các hàm P, Q, R và các hàm đạo hàm riêng không xác định tại x = y = z =0 nên không dùng Ostrogradski được.

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 02/04/2009, 21:21
      Reply to this comment

  10. Thầy ơi, giải giúp em bài này ạ: Tính thể tích hình trụ giới hạn bởi các mặt: x=0,x=1,y=-1,y=1,z=0,z=x^2+y^2

    Thích

    Posted by Nhung | 20/01/2009, 10:23
    Reply to this comment

  11. thầy xem giùm em bài này em viết biểu thức đúng không ạ:
    tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
    z=0, y+z=0, x^2+ \dfrac{y^2}{4}=1
    giải :
    \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{\sqrt{4(1-x^2)}}dy \int_{0}^{-y}dz

    Thích

    Posted by quanghung | 14/01/2009, 10:20
    Reply to this comment

    • Em chọn cận theo z thì đúng, nhưng chọn cận theo x, y thì chưa chính xác. Vì với công thức này, thì miền lấy tích phân chỉ xét với x dương, y dương chứ không phải là toàn bộ elip.
      Chính xác phải là: \int\limits_{-1}^1 \,dx \int\limits_{-\sqrt{4(1-x^2)}}^{\sqrt{4(1-x^2)}} \, dy \int\limits_0^{-y} \, dz
      Tuy nhiên, nếu em chú ý tính đối xứng thì miền lấy thể tích đối xứng qua Ox, Oy thì thể tích sẽ bằng 4 lần thể tích được xác định theo công thức của em.

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 14/01/2009, 21:27
      Reply to this comment

  12. thầy ơi, em chuẩn bị thi toán A3 rồi, mấy nay có 1 bài toán giải hoài không ra, làm e rối trí lắm, thầy giúp e nha. Cho C là elip: \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1
    Tính tích phân đường:
    CODE: \int\limits_C {y(sinx+1) dx +(x-cosx)} \,dy

    Thích

    Posted by Hieu | 25/12/2007, 07:23
    Reply to this comment

    • Đường cong ở đây là elip, nếu dùng cách tham số hóa thì sẽ gặp dạng:
      I = \int {3sint . (sin(2cost) +1) dx + (2cost - cos(2cost))} \, dy
      Mà với tích phân có cos lồng trong sin, cos thì việc tính tích phân này sẽ tương đối phức tạp.
      Nếu em chú ý thì sẽ thấy tích phân này lấy theo đường cong kín. Giả sử lấy theo hướng dương. Lúc này, Tp đường cong kín lấy theo hướng dương thì em có thể sử dụng công thức Green. Ở đây P(x,y) = y.(sinx + 1) và Q(x,y) = x – cosx đều là những hàm sơ cấp nên chắc chắn liên tục và thỏa mãn điều kiện của công thức Green.
      Ta có: P_{y}^{'} = sinx +1 , Q_{x}^{'} = 1 + sinx
      Như vậy: I = \int\int\limits_D {({ \dfrac{{\partial}Q}{{\partial}x}} - { \dfrac{{\partial}P}{{\partial}y}} )} \, dxdy = 0
      Công thức Green giúp chúng ta giải quyết những bài tích phân mà hàm lấy tích phân khá phức tạp. Nếu đường cong không kín, ta có thể bổ sung thêm để có được đường cong kín, và với kỹ thuật này, nhiều bài tính phân đường nếu tích trực tạp sẽ khá khó, nhưng khi dùng công thức Green thì bài toán được giải quyết rất đẹp. Em nên xem lại phần công thức Green và định lý 4 mệnh đề tương đương nhé.

      Chúc em thành công

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 25/12/2007, 15:25
      Reply to this comment
Bình luận mới hơn »

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…