Chuỗi Fourier

2.2 Các Ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm khai triển Fourier của hàm số: f(x) = x , {-\pi  \le x \le \pi }

Giải: Do f(x) là hàm lẻ, nên an = 0, với mọi n ≥ 0. Do đó, ta chỉ cần xác định các hệ số bn. Với bất kỳ n ≥ 0, ta có:

img22.gif

Hay:

img23.gif

Do đó, ta có khai triển Fourier:

img24.gif

pic01.gif

Ví dụ 2: Tìm khai triển Fourier của hàm số:

img25.gif

Giải: Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { ({ \int\limits_{-\pi}^{0}0 \, dx} + {\int\limits_{0}^{\pi} \pi \, dx} )} = { \dfrac{\pi}{2}}

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{0}^{\pi} {\pi .cos(nx) \, dx} } = 0 , n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{0}^{\pi} {\pi .sin(nx) \, dx} } = { \dfrac{1}{n} {(1 - cos(n\pi))}} =  { \dfrac{1}{n} {(1 - (-1)^{n})}}, n \ge 1

Theo kết quả trên, ta có:

b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{(2n+1)}}

Vì vậy, khai triển Fourier của hàm số f (x) là:

img29.gif

pic02.gif

Ví dụ 3: Tìm khai triển Fourier của chuỗi:

img30.gif

Giải:

Ta có thể tính trực tiếp các hệ số a_{0} , a_{n} , b_{n} như hai ví dụ trên. Tuy nhiên, ở đây, ta thấy: hàm số trong ví dụ này chính là hiệu của hàm số cho ở ví dụ 2 trừ đi π . Nên, khai triển Fourier của hàm số trên sẽ là:

img32.gif

pic03.gif


2.3 Điều kiện đủ của khai triển Fourier:

2.3.1 Định nghĩa:

Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu từng khúc trên đoạn [a ; b], nếu có thể chia đoạn [a;b] bởi một số hữu hạn điểm x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} (a < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} < b ) thành các khoảng (a; x_{1}) , (x_{1};x_{2}), ... , (x_{n}; b) sao cho f (x) đơn điệu trên các khoảng đó.

Như vậy, f đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a; b] thì hoặc f liên tục, hoặc f có điểm gián đoạn loại 1 ( nghĩa là: \lim f(x_{0-}) \ne \lim f(x_{0+})

2.3.2 Định lý Dirichlet:

Nếu f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-π ; π] thì chuỗi Fourier hội tụ từng điểm trên đoạn ấy và tổng của chuỗi bằng:

  1. f(x), -\pi < x < \pi và f(x) liên tục tại x.

  2. { \dfrac{1}{2}} (f(x-) + f(x+)), -\pi < x < \pi và x là điểm gián đoạn loại 1 của f(x).

  3. { \dfrac{1}{2}} (f(-\pi) + f(\pi)), x = \pm \pi

Ví dụ: Xét ví dụ 3 ở phần trên. Khi đó, theo định lý Dirichlet ta có:

  1. F(1) = 2(sin1 + { \dfrac{sin3}{3}} + { \dfrac{sin5}{5}} + ... ) = f(1) = - { \dfrac{\pi}{2}}
  2. F(0) =  { \dfrac{1}{2}}(f(0-) + f(0+))  = { \dfrac{1}{2}}({ \dfrac{-\pi}{2}} + { \dfrac{-\pi}{2}}) = 0
  3. F(\pi) =  { \dfrac{1}{2}}(f(-\pi) + f(\pi)) = { \dfrac{1}{2}}({ \dfrac{-\pi}{2}} + { \dfrac{-\pi}{2}}) = 0

Advertisements

Thảo luận

29 thoughts on “Chuỗi Fourier

  1. Thầy giúp e khai triển fourier f(x)=x^2 x=(0;pi) và f(x)=x(pi-x) x=(0-pi)

    Số lượt thích

    Posted by Minh Phạm | 03/07/2017, 18:25
  2. Thầy giúp e 2 bài này với.
    Khai triển ham f(x) tuân hoàn chu ky 2pi thành chuỗi Florida.
    a. f(x)=sinax, -pi<x<pi, a#k
    b. f(x)=(pin-x)/2, 0<x<2.

    Số lượt thích

    Posted by Khoa | 27/01/2015, 10:54
  3. khai triển chuỗi Furie của hàm F(x)=x^2 (-pi,pi)
    thầy giúp em bài này với! e cảm ơn thầy nhiều!!

    Số lượt thích

    Posted by bmthanh1181995 | 19/02/2014, 11:45
  4. khai triển thành chuỗi fourier chu kì 2pi;
    f(x)=|X^3| trên [-pi;pi];
    thầy hướng dẫn em cách làm bai này với!!! thầy có thể vẽ đồ thị bài này cho em được ko ạ?? em cám ơn thây!!!

    Số lượt thích

    Posted by nho_pro | 23/05/2011, 22:03
  5. E cảm ơn bài giảng của thầy. Nhờ nó mà e đã hiểu!!!!! Cảm ơn thầy rất nhiều!

    Số lượt thích

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 13/01/2011, 11:17
  6. Hello Sir,

    Thanks for uploading the Fourier Problem set.
    I was going through the problem set – thunhan.files.wordpress.com/2007/10/problemsfourier.pdf.

    In the following problem Problem 1 (g) I think the asnwer is 2*pi.

    Here is my understanding.

    x(t) = 5*Cos(3*x) + 2*Cos(2*x)
    Fundamental Period of 5*Cos(3*x) is T1 = 2*pi/3.
    Fundamental Period of 2*Cos(2*x) is T2 = pi

    Hence the Fundamental Period of x(t) is LCM (T1, T2) = T1*m = T2*k.
    where m and k are smallest possible integers so as to make LCM a integer.

    (2*pi/3)*m = pi*k

    Hence m is 3 and k is 2.

    LCM is 2*pi.

    Logically also period of 3 fundamental wave of 1st wave = period of 2 fundamentel wave of 2nd wave.


    – Harish
    Be exhilarated forever

    Số lượt thích

    Posted by harish kalghatgi | 04/09/2010, 10:38
  7. Thầy ơi, nếu khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier trên (0, 2Pi) thì em phải làm thế nào ạ?

    Số lượt thích

    Posted by Anh Tran | 02/11/2009, 18:13

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 759 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
Advertisements
%d bloggers like this: