Vẻ đẹp Toán học

This category contains 8 posts

HẰNG SỐ KAPREKAR – MỘT CON SỐ THẦN KỲ


Hôm nay , 29/03/2015 là một ngày rất đặc biệt. Bạn biết vì sao không? Hãy theo dõi các bước sau đây để có câu trả lời nhé!

1- Đảo lộn thứ tự các chữ số ngày tháng sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất từ việc đảo lộn này. Ta có: 9320 và 0239

2- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất: 9320 – 0239 = 9081

Tiếp tục đọc

Bạn có bao giờ nghe đến số nguyên tố cắt trái chưa?


Chắc hẳn bạn vẫn còn nhớ 1 chút khái niệm về số nguyên tố? Số nguyên tố (Prime Number) là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó mà thôi.

Thế còn số nguyên số cắt trái và số nguyên tố cắt phải? Hơi lạ nhỉ!

Số nguyên tố cắt trái là số nguyên tố mà nếu ta cứ lần lượt bỏ đi các chữ số ở bên trái số đó thì ta sẽ thu được các số mới cũng là số nguyên tố. Ví dụ: số 113 là số nguyên tố cắt trái vì 113, 13, 3 lần lượt là các số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố cắt trái lớn nhất hiện nay là bao nhiêu?

Tiếp tục đọc

Euler đã làm điều đó như thế nào: Xấp xỉ Bài toán Basel


Nguồn: http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2003-12.pdf

Tác giả: Ed Sandifer (*)

eulerTrong cuộc đời của những người nổi tiếng, chúng ta thường có thể xác định được những điều đầu tiên đã làm cho họ trở nên nổi tiếng. Như Thomas Edison, đó là phát minh ra máy hát đĩa năm 1877. Hay với Abraham Lincoln, điều đầu tiên làm nên tên tuổi của ông là cuộc tranh luận Lincoln- Douglas vào năm 1858, mặc dù Steven A. Douglas thắng cử thượng nghị viện Mỹ chứ không phải Abraham Lincoln.

Thành tích nổi tiếng đầu tiên của Leonhard Euler là lời giải cho bài toán Basel vào năm 1735. Bài toán đó là tìm kết quả chính xác cho giá trị của tổng các bình phương của các nghịch đảo của các số nguyên, đó là:

1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{36} +\dfrac{1}{49} + .... .

Bill Dunham [D] đã đưa ra lời giải tuyệt vời của  Euler trong cuốn sách Euler The Master of Us All, được xuất bản bởi MAA vào năm 1999. Đáp số cho lời giải của bài toán đã được Euler tím ra vào năm 1730 bằng phương pháp xấp xỉ tích phân.

Pietro Mengoli (1625-1686) đặt ra bài toán Basel vào năm 1644. Và bài toán trở nên nổi tiếng khi Jakob Bernoulli viết về nó vào năm 1689. Jakob – anh trai của Johann Bernoulli (thầy giáo của Euler) – đã đưa bài toán này cho ông. Vào thập niên 1730, bài toán  này thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học và nó cũng thần bí giống như định lý cuối cùng của Fermat trước năm 1993.

Năm 1730 Euler là quan tâm đến các vấn đề mà ông gọi là “nội suy của chuỗi số”. Trong quá trình xác định các giá trị nguyên, ông tìm cách mở rộng các định nghĩa cho các giá trị không nguyên. Ví dụ, ông đã mở rộng thêm chuỗi hypergeometric mà ngày nay chúng ta gọi là hàm giai thừa: n! = 1.2.3... n để làm việc với các giá trị phân số. Các hàm mà ông đưa ra, ngày nay được gọi là hàm Gamma.

Trong bài báo mang chỉ số E20, Euler đã làm điều tương tự đối với tổng riêng phần của chuỗi điều hòa:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+... .

Với tổng riêng phần của số hạng đầu tiên của chuỗi này là 1 và tổng riêng phần của 2 số hạng đầu tiên là \dfrac{3}{2} và tổng riêng phần của ba số hạng đầu tiên là \dfrac{11}{6} , …, và ông đã ký hiệu cho tổng riêng phần của n số hạng đầu tiên. Euler đã tìm tổng của chuỗi trên bằng cách sử dụng phương pháp tích phân và chuỗi hình học.

Đầu tiên, Euler nhớ lại công thức cho tổng riêng phần thứ n của chuỗi hình học:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \dfrac{1-x^n}{1-x} .

Ở đây, n là số số hạng, và các công thức có thể được áp dụng cho bất kỳ giá trị của n, kể cả khi n không nguyên.

Bây giờ, Euler lấy tích phân 2 vế:

\int (1 + x + x^2 + x^3 + .... + x^{n-1})dx = \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx

Hay: x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + ... + \dfrac{x^n}{n} = \int \dfrac{1-x^n}{1-x}

Với hầu hết các giá trị của n thì việc tính tích phân ở vế phải là khá khó khăn. Euler tìm cách giải quyết bài toán bằng 1 kỹ thuật mới.

Nếu lấy tích phân thêm 1 lần nữa thì ta có: vế trái sẽ là:

\dfrac{x^2}{1.2} + \dfrac{x^3}{2.3} + \dfrac{x^4}{3.4} + .... + \dfrac{x^{n+1}}{n.(n+1)}

Bây giờ mẫu số của các số hạng là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Và như thế, bài toán Basel dường như gần gần giống như vậy. Ông quyết định chia biểu thức cho x trước khi lấy tích phân:

\int \dfrac{1}{x} \left( x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}+.... + \dfrac{x^n}{n} \right) dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + \dfrac{x^4}{4.4} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Như vậy, tổng này đã trở về bài toán Basel với x = 1. Khi đó, Euler không có một ký hiệu tốt cho tích phân kép, vì vậy ông đã viết kết quả như sau:

\int \dfrac{dx}{x} \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Sau này, với tích phân bội hai, tích phân trên của Euler được viết lại thành:

\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{x} \left(\int\limits_{0}^x \dfrac{1-y^n}{1-y} dy \right) dx = 1 + \dfrac{1}{2.2} + \dfrac{1}{3.3} + \dfrac{1}{n.n}

Tuy vậy, việc tính tích phân này rất khó khăn. Euler đã dùng một số kỹ thuật tính xấp xỉ để tìm giá trị gần đúng cho tích phân này là: 1.644924. Con số này không có nhiều ý nghĩa đối với nhiều người, nhưng bằng những kỹ năng khác nhau, Euler đã nhận thấy giá trị này rất gần với giá trị \dfrac{{\pi}^2}{6}

Bằng kết quả và hướng dẫn này của Euler, nhà toán học Armed đã tìm chính xác giá trị của bài toán Basel là \dfrac{{\pi}^2}{6} bằng chuỗi hàm lượng giác, mà sau này, chúng ta thường gọi là chuỗi Fourier.

——————

[D] Dunham, William, Euler The Master of Us All, MAA, Washington, D.C., 1999

Vẻ đẹp của Toán học


2tan328pNhân dịp năm học mới, M4Ps xin giới thiệu đến các bạn những hình ảnh tuyệt vời của Toán học. Những hình ảnh này là 1 minh chứng rõ ràng nhất cho việc khẳng định Toán học không phải là môn học khô khan, mà ngược lại nó chứa đựng những vẻ đẹp của cuộc sống.

Đây là đồ thị của những đường cong tham số, và đường cong trong tọa độ cực cũng như những đường cong trong không gian, chúng được tạo thành từ những đường cong quen thuộc khi chúng ta cho những giá trị của tham số thay đổi.  Ví dụ như: đường lemniscarte r=2{\sqrt{sin(np)}} , r = 2cos(np) , r = 2tan(n.p) , đường Cardioid hay :

\left\{ \begin{array}{c} x(t) = (k+1)sint + sin((k+1)t) \\ y(t) = (k+1)cost+cos((k+1)t) \\ \end{array} \right.

Những hình ảnh này được M4Ps  thực hiện bằng phần mềm vẽ đồ thị 2.25 của tác giả Hà Hoàng Phương và phần mềm Maple.

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Xem tiếp…

Bộ sưu tập hình ảnh Toán học qua những con tem


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-YU

M4Ps hân hạnh giới thiệu cùng các bạn bộ sưu tầm các hình ảnh Toán học (các nhà Toán học nổi tiếng, các định lý Toán học,…). Đây là những hình ảnh được M4Ps chụp lại từ tài liệu “Stamping Through Stamps” của tác giả Robin J Wilson, Trường ĐH Mở, Anh Quốc (The Open University, UK).

090910_stamp1 Tiếp tục đọc

03.03.2009: ngày căn bậc hai


Những sản phẩm nút bình phương được học sinh thực hiện với sự hướng dẫn của Ron Gordon - InsideBayArea.com

Những sản phẩm nút bình phương được học sinh thực hiện với sự hướng dẫn của Ron Gordon - InsideBayArea.com

Ngày 03/03 /2009, là ngày được những người yêu Toán gọi là ngày căn bậc hai.Đây là ngày lễ không chính thức, nó không phải diễn ra định kỳ hàng năm mà chỉ đến 9 lần trong 1 thế kỷ.

Chà, đặc biệt vậy ta!!! Vậy ngày căn bậc hai là ngày gì?

Đó là ngày mà cả ngày và tháng đều là căn bậc hai của 2 số cuối cùng của năm. Vì vậy, ngày 03 tháng 03 năm nay là 1 ngày như vậy vì ngày 3, tháng 3 đều là căn bậc 2 của 09. Nói cách khác: 3 x 3 = 32 = 9 ).  Lần gần đây nhất là ngày 02.02.2004 và chúng ta phải đợi hơn 7 năm nữa mới đến ngày căn bậc hai kế tiếp 04.04.2016. Điều đặc biệt nó chỉ diễn ra 9 lần trong thế kỷ này. Đó là các ngày: 01.01.2001 ; 02.02.2002 ; 03.03.2009 ; 04.04.2016 ; 05.05.2025 ; 06.06.2036 ; 07.07.2049 ; 08.08.2064 ; 09.09.2081.

Đọc tiếp>>

Parabella


Ối, admin viết sai chính tả rồi! Sao lại là PARABELLA, từ này làm gì có trong từ  điển.  Hẳn nhiều bạn sẽ rất ngạc nhiên và thốt lên như vậy. Vâng tuy từ này không có trong từ điển, nhưng nó được các nhà Toán học đặt tên cho 1 kết quả tuyệt đẹp của Toán học. Đó chính là sự kết hợp giữa đường cong parabol (PARABOLA) và sự song song (PARALLELS).

Thật vậy ư !!?

Vậy đó là kết quả gì vậy?

Tiếp tục đọc

Vẻ đẹp của Toán học


2tan328pM4Ps xin giới thiệu đến các bạn những hình ảnh tuyệt vời của Toán học. Những hình ảnh này là 1 minh chứng rõ ràng nhất cho việc khẳng định Toán học không phải là môn học khô khan, mà ngược lại nó chứa đựng những vẻ đẹp của cuộc sống.

Đây là đồ thị của những đường cong tham số, và đường cong trong tọa độ cực cũng như những đường cong trong không gian, chúng được tạo thành từ những đường cong quen thuộc khi chúng ta cho những giá trị của tham số thay đổi.  Ví dụ như: đường lemniscarte r=2{\sqrt{sin(np)}} , r = 2cos(np) , r = 2tan(n.p) , đường Cardioid hay :

\left\{ \begin{array}{c} x(t) = (k+1)sint + sin((k+1)t) \\ y(t) = (k+1)cost+cos((k+1)t) \\ \end{array} \right.

Những hình ảnh này được M4Ps  thực hiện bằng phần mềm vẽ đồ thị 2.25 của tác giả Hà Hoàng Phương và phần mềm Maple.

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Tiếp tục đọc

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 731 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: