Lịch sử Toán học

This category contains 13 posts

Bạn có bao giờ nghe đến số nguyên tố cắt trái chưa?


Chắc hẳn bạn vẫn còn nhớ 1 chút khái niệm về số nguyên tố? Số nguyên tố (Prime Number) là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó mà thôi.

Thế còn số nguyên số cắt trái và số nguyên tố cắt phải? Hơi lạ nhỉ!

Số nguyên tố cắt trái là số nguyên tố mà nếu ta cứ lần lượt bỏ đi các chữ số ở bên trái số đó thì ta sẽ thu được các số mới cũng là số nguyên tố. Ví dụ: số 113 là số nguyên tố cắt trái vì 113, 13, 3 lần lượt là các số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố cắt trái lớn nhất hiện nay là bao nhiêu?

Đọc tiếp

Euler đã làm điều đó như thế nào: Xấp xỉ Bài toán Basel


Nguồn: http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2003-12.pdf

Tác giả: Ed Sandifer (*)

eulerTrong cuộc đời của những người nổi tiếng, chúng ta thường có thể xác định được những điều đầu tiên đã làm cho họ trở nên nổi tiếng. Như Thomas Edison, đó là phát minh ra máy hát đĩa năm 1877. Hay với Abraham Lincoln, điều đầu tiên làm nên tên tuổi của ông là cuộc tranh luận Lincoln- Douglas vào năm 1858, mặc dù Steven A. Douglas thắng cử thượng nghị viện Mỹ chứ không phải Abraham Lincoln.

Thành tích nổi tiếng đầu tiên của Leonhard Euler là lời giải cho bài toán Basel vào năm 1735. Bài toán đó là tìm kết quả chính xác cho giá trị của tổng các bình phương của các nghịch đảo của các số nguyên, đó là:

1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{36} +\dfrac{1}{49} + .... .

Bill Dunham [D] đã đưa ra lời giải tuyệt vời của  Euler trong cuốn sách Euler The Master of Us All, được xuất bản bởi MAA vào năm 1999. Đáp số cho lời giải của bài toán đã được Euler tím ra vào năm 1730 bằng phương pháp xấp xỉ tích phân.

Pietro Mengoli (1625-1686) đặt ra bài toán Basel vào năm 1644. Và bài toán trở nên nổi tiếng khi Jakob Bernoulli viết về nó vào năm 1689. Jakob – anh trai của Johann Bernoulli (thầy giáo của Euler) – đã đưa bài toán này cho ông. Vào thập niên 1730, bài toán  này thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học và nó cũng thần bí giống như định lý cuối cùng của Fermat trước năm 1993.

Năm 1730 Euler là quan tâm đến các vấn đề mà ông gọi là “nội suy của chuỗi số”. Trong quá trình xác định các giá trị nguyên, ông tìm cách mở rộng các định nghĩa cho các giá trị không nguyên. Ví dụ, ông đã mở rộng thêm chuỗi hypergeometric mà ngày nay chúng ta gọi là hàm giai thừa: n! = 1.2.3... n để làm việc với các giá trị phân số. Các hàm mà ông đưa ra, ngày nay được gọi là hàm Gamma.

Trong bài báo mang chỉ số E20, Euler đã làm điều tương tự đối với tổng riêng phần của chuỗi điều hòa:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+... .

Với tổng riêng phần của số hạng đầu tiên của chuỗi này là 1 và tổng riêng phần của 2 số hạng đầu tiên là \dfrac{3}{2} và tổng riêng phần của ba số hạng đầu tiên là \dfrac{11}{6} , …, và ông đã ký hiệu cho tổng riêng phần của n số hạng đầu tiên. Euler đã tìm tổng của chuỗi trên bằng cách sử dụng phương pháp tích phân và chuỗi hình học.

Đầu tiên, Euler nhớ lại công thức cho tổng riêng phần thứ n của chuỗi hình học:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \dfrac{1-x^n}{1-x} .

Ở đây, n là số số hạng, và các công thức có thể được áp dụng cho bất kỳ giá trị của n, kể cả khi n không nguyên.

Bây giờ, Euler lấy tích phân 2 vế:

\int (1 + x + x^2 + x^3 + .... + x^{n-1})dx = \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx

Hay: x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + ... + \dfrac{x^n}{n} = \int \dfrac{1-x^n}{1-x}

Với hầu hết các giá trị của n thì việc tính tích phân ở vế phải là khá khó khăn. Euler tìm cách giải quyết bài toán bằng 1 kỹ thuật mới.

Nếu lấy tích phân thêm 1 lần nữa thì ta có: vế trái sẽ là:

\dfrac{x^2}{1.2} + \dfrac{x^3}{2.3} + \dfrac{x^4}{3.4} + .... + \dfrac{x^{n+1}}{n.(n+1)}

Bây giờ mẫu số của các số hạng là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Và như thế, bài toán Basel dường như gần gần giống như vậy. Ông quyết định chia biểu thức cho x trước khi lấy tích phân:

\int \dfrac{1}{x} \left( x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}+.... + \dfrac{x^n}{n} \right) dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + \dfrac{x^4}{4.4} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Như vậy, tổng này đã trở về bài toán Basel với x = 1. Khi đó, Euler không có một ký hiệu tốt cho tích phân kép, vì vậy ông đã viết kết quả như sau:

\int \dfrac{dx}{x} \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Sau này, với tích phân bội hai, tích phân trên của Euler được viết lại thành:

\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{x} \left(\int\limits_{0}^x \dfrac{1-y^n}{1-y} dy \right) dx = 1 + \dfrac{1}{2.2} + \dfrac{1}{3.3} + \dfrac{1}{n.n}

Tuy vậy, việc tính tích phân này rất khó khăn. Euler đã dùng một số kỹ thuật tính xấp xỉ để tìm giá trị gần đúng cho tích phân này là: 1.644924. Con số này không có nhiều ý nghĩa đối với nhiều người, nhưng bằng những kỹ năng khác nhau, Euler đã nhận thấy giá trị này rất gần với giá trị \dfrac{{\pi}^2}{6}

Bằng kết quả và hướng dẫn này của Euler, nhà toán học Armed đã tìm chính xác giá trị của bài toán Basel là \dfrac{{\pi}^2}{6} bằng chuỗi hàm lượng giác, mà sau này, chúng ta thường gọi là chuỗi Fourier.

——————

[D] Dunham, William, Euler The Master of Us All, MAA, Washington, D.C., 1999

0 lũy thừa 0 (0^0) bằng mấy?


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1cp

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “00 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 00 = 1! Cũng có bạn cho rằng 00 = 0 (do 0n = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0^0 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 00 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:

\dfrac{x^b}{x^c} = x^{b-c}

Nên: 1 = \dfrac{x^b}{x^b} = x^{b-b} = x^0

Do đó: 0^0 = \dfrac{0^b}{0^b} = 1

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: \dfrac{0^b}{0^b} = \dfrac{0}{0} là dạng vô định.

Xem tiếp…

Tem thư và toán học


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-YO

TTCN – Có rất nhiều nước đã phát hành các bộ tem bưu chính để tưởng nhớ các nhà toán học trên thế giới nhân dịp kỷ niệm ngày sinh hoặc ngày mất của họ. Tuy nhiên, những khái niệm, định lý, công trình toán học được ấn hành trên tem thư lại rất hiếm.

1 và 2: Ngành bưu chính Hi Lạp phát hành một con tem giới thiệu trường hợp đặc biệt được nhiều người biết nhất của định lý Pythagore dưới dạng 32 + 42 = 52 (hình 1). Ở Suriname, một nước thuộc Nam Mỹ, người ta cũng phát hành một con tem để tôn vinh định lý này (hình 2).

1 2

Xem tiếp…

Các vấn đề lịch sử của chuỗi số – chuỗi hàm


1. Sự xuất hiện của chuỗi hàm:

MadhavaChuỗi hàm xuất hiện từ rất sớm. Ngay từ thế kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn Độ – Madhava (1350 – 1425) ở vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền Tây – Nam của Ấn Độ) đã biết cách biểu diễn một số hàm lượng giác thành các chuỗi vô hạn và đánh giá sai số sinh ra khi “cắt đuôi” của chuỗi.

Các bài viết về Toán học của ông hiện nay không còn nữa, nhưng một số bài viết về thiên văn của ông thì vẫn còn sót lại. Tuy nhiên, các công trình chói lọi về Toán học của ông lại được truyền bá bởi một số nhà Toán học khác vùng Kerala, như là Nilakantha, người sống sau ông khoảng 100 năm.

Đọc tiếp

7 bài toán thiên niên kỷ (Millennium Problems)


clayMột triệu đô la dành cho ai giải được bất kỳ bí ẩn nào trong số bảy bí ẩn toán học. Đó chính là phần thưởng do một tổ chức tư nhân nêu ra nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó. Và dĩ nhiên, cũng để trả lời những câu hỏi lớn vẫn làm đau đầu các nhà toán học bấy lâu nay.

7 bài toán ” Clay ” đặt ra cho ” thiên kỉ ” cũng theo tinh thần Hilbert, nghĩa là bao gồm toàn bộ các lãnh vực toán học. Người ta có thể thấy hơi ” kì ” : người ” ra đề ” không phải là một cơ quan chính thức như Liên hiệp quốc tế toán học hay Hội toán học Pháp, mà lại là một cơ sở tư nhân. Sự thật là ngày nay không có, không thể có một nhà toán học ” phổ quát ” nữa _ toán học đã trở thành quá mênh mông. Không còn minh chủ được quần hùng một lòng tôn vinh, thì lại càng nên tránh để nổ ra những cuộc xung đột giữa các môn phái. Vả lại, kiếm đâu ra mấy triệu $, nếu không gõ cửa tư nhân? Dù sao, Hội đồng khoa học của Viện Clay (tập hợp những chuyên gia kiệt xuất trong tất cả các ngành toán học, và đầu tiên phải kể tên Andrew Wiles, người đã chứng minh ” định lí cuối cùng của Fermat “) đã đánh liều tiếp nối con đường của Hilbert để nêu ra 7 bài toán cho thế kỉ 21.

Đọc tiếp>>

Những mốc quan trọng nhất của Lịch sử Lý thuyết xác suất


history_of_probabilityCó thể nói sự bắt nguồn cho câu chuyện về xác suất và thống kê là từ một vài bài viết được đề cập từ những sự nỗ lực độc lập của Cardano (Liber de Ludo Aleae (1565), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1663) và Galilei (Sopra le Scoperte dei Dadi (vào khoảng 1620), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1718), nhưng vào thời điểm đó đã có một sự đồng quan điểm được nhận định từ một số câu hỏi về trò chơi cờ bạc được Antoine Gombaud, Chevalier de MéréDamien Mitton gởi cho Pascal vào năm 1654.

Đọc tiếp

Theo dòng lịch sử của định thức


Ngày nay, khi định nghĩa định thức bao giờ ta cũng nói: “định thức của một ma trận nào đó”. Vì thế, một cách tự nhiên, ai cũng nghĩ rằng khái niệm định thức phải ra đời sau khái niệm ma trận. Nhưng thực tế, khái niệm định thức ra đời trước khái niệm ma trận 150 năm. Người đầu tiên đưa ra khái niệm định thức là Leibnitz, nhà Toán học Đức, (1646 – 1716) và nhà Toán học Seki Kova, người Nhật Bản. Nó đã được xuất hiện trong công trình của một nhà toán học Nhật Bản khác, là Takakazu (1642 – 1708).

Đọc tiếp

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 618 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2 618 other followers

%d bloggers like this: