Toán học

This category contains 38 posts

Video bài giảng hướng dẫn xét sự biến thiên của hàm số bằng máy tính


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1ou

https://www.facebook.com/plugins/video.php?href=https%3A%2F%2Fwww.facebook.com%2Fnhannvt%2Fvideos%2F10211027076369891%2F&show_text=0&width=400

Advertisements

HẰNG SỐ KAPREKAR – MỘT CON SỐ THẦN KỲ


Hôm nay , 29/03/2015 là một ngày rất đặc biệt. Bạn biết vì sao không? Hãy theo dõi các bước sau đây để có câu trả lời nhé!

1- Đảo lộn thứ tự các chữ số ngày tháng sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất từ việc đảo lộn này. Ta có: 9320 và 0239

2- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất: 9320 – 0239 = 9081

Tiếp tục đọc

Bạn có bao giờ nghe đến số nguyên tố cắt trái chưa?


Chắc hẳn bạn vẫn còn nhớ 1 chút khái niệm về số nguyên tố? Số nguyên tố (Prime Number) là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó mà thôi.

Thế còn số nguyên số cắt trái và số nguyên tố cắt phải? Hơi lạ nhỉ!

Số nguyên tố cắt trái là số nguyên tố mà nếu ta cứ lần lượt bỏ đi các chữ số ở bên trái số đó thì ta sẽ thu được các số mới cũng là số nguyên tố. Ví dụ: số 113 là số nguyên tố cắt trái vì 113, 13, 3 lần lượt là các số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố cắt trái lớn nhất hiện nay là bao nhiêu?

Tiếp tục đọc

Euler đã làm điều đó như thế nào: Xấp xỉ Bài toán Basel


Nguồn: http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2003-12.pdf

Tác giả: Ed Sandifer (*)

eulerTrong cuộc đời của những người nổi tiếng, chúng ta thường có thể xác định được những điều đầu tiên đã làm cho họ trở nên nổi tiếng. Như Thomas Edison, đó là phát minh ra máy hát đĩa năm 1877. Hay với Abraham Lincoln, điều đầu tiên làm nên tên tuổi của ông là cuộc tranh luận Lincoln- Douglas vào năm 1858, mặc dù Steven A. Douglas thắng cử thượng nghị viện Mỹ chứ không phải Abraham Lincoln.

Thành tích nổi tiếng đầu tiên của Leonhard Euler là lời giải cho bài toán Basel vào năm 1735. Bài toán đó là tìm kết quả chính xác cho giá trị của tổng các bình phương của các nghịch đảo của các số nguyên, đó là:

1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{36} +\dfrac{1}{49} + .... .

Bill Dunham [D] đã đưa ra lời giải tuyệt vời của  Euler trong cuốn sách Euler The Master of Us All, được xuất bản bởi MAA vào năm 1999. Đáp số cho lời giải của bài toán đã được Euler tím ra vào năm 1730 bằng phương pháp xấp xỉ tích phân.

Pietro Mengoli (1625-1686) đặt ra bài toán Basel vào năm 1644. Và bài toán trở nên nổi tiếng khi Jakob Bernoulli viết về nó vào năm 1689. Jakob – anh trai của Johann Bernoulli (thầy giáo của Euler) – đã đưa bài toán này cho ông. Vào thập niên 1730, bài toán  này thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học và nó cũng thần bí giống như định lý cuối cùng của Fermat trước năm 1993.

Năm 1730 Euler là quan tâm đến các vấn đề mà ông gọi là “nội suy của chuỗi số”. Trong quá trình xác định các giá trị nguyên, ông tìm cách mở rộng các định nghĩa cho các giá trị không nguyên. Ví dụ, ông đã mở rộng thêm chuỗi hypergeometric mà ngày nay chúng ta gọi là hàm giai thừa: n! = 1.2.3... n để làm việc với các giá trị phân số. Các hàm mà ông đưa ra, ngày nay được gọi là hàm Gamma.

Trong bài báo mang chỉ số E20, Euler đã làm điều tương tự đối với tổng riêng phần của chuỗi điều hòa:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+... .

Với tổng riêng phần của số hạng đầu tiên của chuỗi này là 1 và tổng riêng phần của 2 số hạng đầu tiên là \dfrac{3}{2} và tổng riêng phần của ba số hạng đầu tiên là \dfrac{11}{6} , …, và ông đã ký hiệu cho tổng riêng phần của n số hạng đầu tiên. Euler đã tìm tổng của chuỗi trên bằng cách sử dụng phương pháp tích phân và chuỗi hình học.

Đầu tiên, Euler nhớ lại công thức cho tổng riêng phần thứ n của chuỗi hình học:

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \dfrac{1-x^n}{1-x} .

Ở đây, n là số số hạng, và các công thức có thể được áp dụng cho bất kỳ giá trị của n, kể cả khi n không nguyên.

Bây giờ, Euler lấy tích phân 2 vế:

\int (1 + x + x^2 + x^3 + .... + x^{n-1})dx = \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx

Hay: x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + ... + \dfrac{x^n}{n} = \int \dfrac{1-x^n}{1-x}

Với hầu hết các giá trị của n thì việc tính tích phân ở vế phải là khá khó khăn. Euler tìm cách giải quyết bài toán bằng 1 kỹ thuật mới.

Nếu lấy tích phân thêm 1 lần nữa thì ta có: vế trái sẽ là:

\dfrac{x^2}{1.2} + \dfrac{x^3}{2.3} + \dfrac{x^4}{3.4} + .... + \dfrac{x^{n+1}}{n.(n+1)}

Bây giờ mẫu số của các số hạng là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Và như thế, bài toán Basel dường như gần gần giống như vậy. Ông quyết định chia biểu thức cho x trước khi lấy tích phân:

\int \dfrac{1}{x} \left( x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}+.... + \dfrac{x^n}{n} \right) dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + \dfrac{x^4}{4.4} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Như vậy, tổng này đã trở về bài toán Basel với x = 1. Khi đó, Euler không có một ký hiệu tốt cho tích phân kép, vì vậy ông đã viết kết quả như sau:

\int \dfrac{dx}{x} \int \dfrac{1-x^n}{1-x} dx = x + \dfrac{x^2}{2.2} + \dfrac{x^3}{3.3} + .... + \dfrac{x^n}{n.n}

Sau này, với tích phân bội hai, tích phân trên của Euler được viết lại thành:

\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{x} \left(\int\limits_{0}^x \dfrac{1-y^n}{1-y} dy \right) dx = 1 + \dfrac{1}{2.2} + \dfrac{1}{3.3} + \dfrac{1}{n.n}

Tuy vậy, việc tính tích phân này rất khó khăn. Euler đã dùng một số kỹ thuật tính xấp xỉ để tìm giá trị gần đúng cho tích phân này là: 1.644924. Con số này không có nhiều ý nghĩa đối với nhiều người, nhưng bằng những kỹ năng khác nhau, Euler đã nhận thấy giá trị này rất gần với giá trị \dfrac{{\pi}^2}{6}

Bằng kết quả và hướng dẫn này của Euler, nhà toán học Armed đã tìm chính xác giá trị của bài toán Basel là \dfrac{{\pi}^2}{6} bằng chuỗi hàm lượng giác, mà sau này, chúng ta thường gọi là chuỗi Fourier.

——————

[D] Dunham, William, Euler The Master of Us All, MAA, Washington, D.C., 1999

Vẻ đẹp của Toán học


2tan328pNhân dịp năm học mới, M4Ps xin giới thiệu đến các bạn những hình ảnh tuyệt vời của Toán học. Những hình ảnh này là 1 minh chứng rõ ràng nhất cho việc khẳng định Toán học không phải là môn học khô khan, mà ngược lại nó chứa đựng những vẻ đẹp của cuộc sống.

Đây là đồ thị của những đường cong tham số, và đường cong trong tọa độ cực cũng như những đường cong trong không gian, chúng được tạo thành từ những đường cong quen thuộc khi chúng ta cho những giá trị của tham số thay đổi.  Ví dụ như: đường lemniscarte r=2{\sqrt{sin(np)}} , r = 2cos(np) , r = 2tan(n.p) , đường Cardioid hay :

\left\{ \begin{array}{c} x(t) = (k+1)sint + sin((k+1)t) \\ y(t) = (k+1)cost+cos((k+1)t) \\ \end{array} \right.

Những hình ảnh này được M4Ps  thực hiện bằng phần mềm vẽ đồ thị 2.25 của tác giả Hà Hoàng Phương và phần mềm Maple.

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm r = 2tan(3.28p)

Xem tiếp…

KenKen – trò chơi giải trí thú vị


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1iq

Trong quá trình tìm kiếm tài liệu trên Internet, M4Ps tình cờ tìm được một trò chơi giải trí mang màu sắc Toán học rất thú vị, và đầy thách đố. Đó chính là trò chơi KenKen. Đây là trò chơi ghép số, tương tự như Sudoku, nhưng đầy thách đố, người chơi phải động não hơn rất nhiều và qua đó không những giúp chúng ta rèn luyện não bộ mà còn giúp khám phá chính bản thân mình. Có thể nhiều bạn đã biết đến trò chơi này, nhưng M4Ps cũng mong muốn giới thiệu rộng rãi cho mọi người trò chơi giải trí cực kỳ thú vị.

Vậy trò chơi KenKen như thế nào?

Tiếp tục đọc

Thử tài suy luận


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1d9

Từ trao đổi của bạn Tran Dinh Tan về một bài toán ma trận, M4Ps quyết định chuyển thảo luận đó thành lời thách đố cho các bạn có dịp ghé thăm Maths 4 Physics. Câu đó như sau:

Cho một bảng gồm 25 ô được chia thành 5 hàng và 5 cột. Mỗi ô chứa 1 số từ 1 đến 25 như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 11 & 17 & 25 & 19 & 16 \\ \hline 24 & 10 & 13 & 15 & 3 \\ \hline 12 & 5 & 14 & 2 & 18 \\ \hline 23 & 4 & 1 & 8 & 22 \\ \hline 6 & 20 & 7 & 21 & 9 \\ \hline \end{array}

Bạn hãy chọn 5 số từ bảng trên theo quy tắc không có bất kỳ 2 số nào nằm trên cùng 1 hàng hoặc cùng 1 cột sao cho số nhỏ nhất trong 5 số trên nhận được giá trị lớn nhất có thể.

Xem tiếp…

0 lũy thừa 0 (0^0) bằng mấy?


Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1cp

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “00 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 00 = 1! Cũng có bạn cho rằng 00 = 0 (do 0n = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0^0 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 00 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:

\dfrac{x^b}{x^c} = x^{b-c}

Nên: 1 = \dfrac{x^b}{x^b} = x^{b-b} = x^0

Do đó: 0^0 = \dfrac{0^b}{0^b} = 1

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: \dfrac{0^b}{0^b} = \dfrac{0}{0} là dạng vô định.

Xem tiếp…

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 742 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: