Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

Ví dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu, nếu học sinh đó trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không có điểm. Do học sinh đó lười học nên không nắm được bài, đã làm bài bằng cách chọn đại 1 phương án trả lời. Tìm xác suất để học sinh đó đạt được kết quả (đạt 50 điểm trở lên)

Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phép thử Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của học sinh đó thì X ~ B(100;0.25)

Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cố học sinh đạt kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kê và tính từng trường hợp X = 50, 51, 52, …, 100 tốn rất nhiều thời gian.

Trong thực tế khi số phép thử n khá lớn, việc sử dụng các công thức (2) và (3) gặp nhiều khó khăn. Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng các công thức gần đúng để tính toán.

Khi n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1, ta có thể áp dụng công thức tích phân Laplace xấp xỉ như sau:

P_x = C_n^x.p^xq^{n-x} \approx { \dfrac{1}{\sqrt{npq}}} f({ \dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}}) (4)

trong đó f(u) = { \dfrac{1}{\sqrt{2.{\pi}}}} e^{-{ \dfrac{u^2}{2}}} gọi là hàm Gauss

Nhận xét:

1. Để tính giá trị của các hàm f(u), chúng ta có thể tra các giá trị hàm Laplace được tính sẵn ở các bảng phụ lục (thông thường các sách XSTK đều có bảng phụ lục này).

2. Dễ dàng nhận thấy hàm f(u) là hàm chẵn, do đó f(-u) = f(u), nên thông thường các bảng phụ lục chỉ ghi các giá trị ứng với u ≥ 0.

3. Hầu hết các bảng phụ lục chỉ tính f(u) với u ≤ 5. Với u > 5 thì hàm f(u) giảm rất chậm và nhận giá trị gần bằng 0. Do vậy ta có thể lấy f(u) = 0 (với mọi u > 5).

3. Từ công thức trên ta cũng có công thức xấp xỉ:

P(a \le X \le b) = P(X=b) - P(X = a) \\ \approx {\varphi}({ \dfrac{b - np}{\sqrt{npq}}}) - {\varphi}({ \dfrac{a - np}{\sqrt{npq}}})

trong đó {\varphi}(x) = { \dfrac{1}{\sqrt{2.{\pi}}}} \int_0^x e^{-{ \dfrac{u^2}{2}}} \, du (hàm Laplace). Hàm Laplace là hàm lẻ, với x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm và nhận giá trị xấp xỉ bằng 0.5.

Quay lại ví dụ 3 ở trên, ta sẽ áp dụng công thức tích phân Lapplace để tính xác suất học sinh đó đạt yêu cầu. Rõ ràng:

P(X \ge 50) = P(50 \le X \le 100) \\ \approx {\varphi} ( { \dfrac{100 - 100.(0.25)}{\sqrt{100.(0.25).(0.75)}}}) - {\varphi} ( { \dfrac{50 - 100.(0.25)}{\sqrt{18.75}}})

Hay: P(X \ge 50) \approx {\varphi}(17.32) - {\varphi}(5.77) \approx 0.5 - 0.5 \approx 0

Khi xác suất p ≈ 0 (rất bé) ta sử dụng định lý sau:

Định lý Poisson:

Cho X ~ B(n;p).

Khi n \to + \infty , p \to 0 , np = \lambda (const)

Thì \lim_{n \to +{\infty}} P_n(k) = { \dfrac{e^{- {\lambda}}{\lambda}^k}{k!}}

Nghĩa là: khi n khá lớn và p khá nhỏ, n.p = const thì:

P_{n}(k) \approx  { \dfrac{e^{-{ \lambda}}.{ \lambda}^k}{k!}}

Ví dụ: Xác suất gặp một thứ phẩm trong một lô hàng áo sơ mi cao cấp là 0,003. Tìm xác suất để gặp 8 thứ phẩm trong 1000 sản phẩm đó.

Giải: Do n = 1000 , p = 0,003 ≈ 0 → λ = np = 3

Gọi X là số thứ phẩm trong 1000 sản phẩm thì X ~ B(1000;0,003). Tuy nhiên do n lớn và p khá nhỏ nên ta áp dụng công thức tính xấp xỉ Poisson.

Ta có: P[X=8] \approx { \dfrac{e^{-3}.3^8}{8!}} \approx 0,0081

Các ví dụ tương tự:

1. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có 300 chữ in sai. Mở ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai. Đ/s: 0.0198

2. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng giải. Nếu 1 người mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu? Đ/s: 0,76

3.Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp 500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày.

Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(3;0.8).

a.Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.

b. Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?

4. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1000 laptop ta gặp:

a. 10 máy bị lỗi. Đ/s: 0.018

b. Có không quá 5 máy bị lỗi Đ/s:0.61596

5. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm.

Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì được nâng bậc.

Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại 1 đối với 2 máy lần lượt là 0.7 và 0.8.

Tính xác suất để công nhân được nâng bậc thợ. Đ/s: 0.5161

Thảo luận

49 thoughts on “Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc

  1. Giúp em với thầy!!!!

    Trong 10000 sản phẩm công ty X có 2000 sản phẩm loại A. Tìm xác xuất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra:
    a. Có 81 sản phẩm loại A.
    b. Có từ 70 đến 100 sản phẩm loại A.
    c. Có từ 70 đến 100 sản phẩm không phải loại A.

    Số lượt thích

    Posted by Khai | 13/11/2016, 21:06
  2. giúp em bài này ạ
    website cho phép người dùng download tài liệu được đặt trên đó. website cung cấp cho ng có nhu cầu download mỗi tài liệu 1 mã xác nhận để thực hiện thủ tục truy cập. mã xác nhận này đc 1 chương trình chon ngẫu nhiên là 1 dãy có thứ tự gồm 4 chữ số.(từ 0 dến 9) .hãy tính xác suất của các sự kiện:
    a, người truy cập nhận đc 1 mã xác nhận gồm 4 chữ số khác nhau

    Số lượt thích

    Posted by Bảo Yến | 27/08/2015, 10:17
  3. thầy cho em hỏi bài này được k ạ? Mai em thi rồi mà dạng này em không làm được :
    Đề: Chiều cao của 1 loại cây gỗ tuân theo Quy luật phân phối chuẩn với chiều cao TB là 15m và độ lệch tiêu chuẩn là 0,8m.
    c/ 1 cây gỗ được gọi là đạt tiêu chuẩn khai thác nếu chiều cao của nó nằm trong khoảng 14,8m -> 15,9m. Tính xác suất để trong 10 cây gỗ khai thác có 8 cây đạt tiêu chuẩn.
    Em xin cảm ơn ạ.

    Số lượt thích

    Posted by Nhật Vũ | 24/04/2015, 21:12
  4. Có 2 lô sản phẩm. Mỗi lô có 10 sản phẩm, lô thứ I có 4 sản phẩm loại 1, lô thứ II có 2 sản phẩm loại 1. Từ lô thứ I lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm và từ lô thứ II lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại 1 trong 5 sản phẩm lấy ra từ 2 lô .
    a) Lập luận phân phối X
    b) Tính P (x>=2)
    Thầy (cô) ơi cho em hỏi, đối với bài này phương pháp giải như thế nào? em xin cảm ơn!

    Số lượt thích

    Posted by Kim Chi | 03/04/2015, 23:24
  5. Thầy cho em hỏi
    Hai cầu thủ thực hiện mỗi người 2 cú sút bóng về khung thành. Giả sử xác suất sút bóng thành công của 2 người lần lượt là 0,7 và 0,8. Gọi X là tổng số sút bóng thành công của 2 cầu thủ. Chứng tỏ rằng X không có phân phối nhị thức.

    Liked by 1 person

    Posted by Nguyễn Thị Hồng Phương | 28/03/2015, 10:30
  6. lô hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại 1. Hai người A và B thay phiên nhau A lấy trước 1 sản phẩm rồi B lấy 1 sản phẩm. Mỗi người thay phiên nhau lấy đến khi được sản phẩm loại 1 thì dừng. Gọi X1 vs X2 lần lượt là số sản phẩm do A và B lấy được.
    a, Tìm luật phân phối của X1, X2
    b, Tìm luật phân phối của Z=X1.X2

    Số lượt thích

    Posted by rua | 11/11/2013, 11:47
  7. còn bt này nữa giúp em với :
    có hai người chơi cờ cho đến khi dành được thắng lợi thì thôi. trong đó điều kiện để đối thủ 1 thắng là phải thắng 3 ván và đối thủ 2 thắng là phải thắng 4 ván ( ko có hòa). biết rằng xác suất thắng mỗi ván của đối thủ 1 là p và của đối thủ 2 là q=1-p. tìm xác suất sao cho thắng lợi thuộc về đối thủ 1.
    em sắp kiểm tra rùi mà thấy bt khó quá à!hu.help me!hic

    Số lượt thích

    Posted by tran tinh | 23/02/2012, 22:06
    • chia trường hợp người 1 thắng nhé :
      thắng trong 3 ván : p^3
      thắng trong 4 ván : 3*p^3*(1-p) ( vì ván thứ 4 thắng và thua 1 trong 3 ván đầu )
      thắng trong 5 ván : 4C2 * p^3 * (1-p)^2
      thắng trong 6 ván : 5C3 * p^3 *(1-p)^3
      xong rồi nhé.

      Số lượt thích

      Posted by Hải Phạm Lê | 03/10/2012, 09:17

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 769 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: