Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân

Ví dụ 2:

Ta xét lại phương trình (1): y''- 2x.y' + y = 0   (1)

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: y = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n

Khi đó: y' = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n.c_n.x^{n-1}

y'' = { \sum\limits_{n=2}^{\infty}n.(n-1)c_n.x^{n- 2}} = { \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2).(n+1)c_{n+2}.x^n}

Giống như ví dụ 1. Thế y, y’, y” vào phương trình, ta có:

{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n} - 2x.{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}nc_n.x^{n-1}} + { \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n} = 0

{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n} - { \sum\limits_{n=1}^{\infty}2nc_n.x^n} + { \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n} = 0

{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n} - { \sum\limits_{n=0}^{\infty}2nc_n.x^n} + { \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n.x^n} = 0

Hay: { \sum\limits_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)c_{n+2} - (2n-1)c_n].x^n} = 0

Do đó: {(n+2)(n+1)c_{n+2} - (2n-1)c_n} = 0

Vậy: c_{n+2} = { \dfrac{2n-1}{(n+1)(n+2)}}c_n , n = 0,1,2,3,...

Như vậy, ta có được công thức truy hồi. Do đó:

Với n = 0: c_2 = - { \dfrac{c_0}{1.2}}

Với n = 1: c_3 = { \dfrac{c_1}{2.3}}

Với n = 2: c_4 = { \dfrac{3c_2}{3.4}} = - { \dfrac{3c_0}{1.2.3.4}} = -{ \dfrac{3c_0}{4!}}

Với n = 3: c_5 = { \dfrac{5c_3}{4.5}} = { \dfrac{5c_1}{2.3.4.5}} = { \dfrac{1.5c_1}{5!}}

Với n = 4: c_6 = { \dfrac{7c_4}{5.6}} = - { \dfrac{3.7c_0}{4!.5.6}} = - { \dfrac{3.7c_0}{6!}}

Với n = 5: c_7 = { \dfrac{9c_5}{6.7}} = - { \dfrac{1.5.9c_1}{5!.6.7}} = { \dfrac{1.5.9c_1}{7!}}

Với n = 6: c_8 = { \dfrac{11c_4}{7.8}} = - { \dfrac{3.7.11c_0}{6!.7.8}} = - { \dfrac{3.7.11c_0}{8!}}

Với n = 7: c_7 = { \dfrac{13c_5}{8.9}} = - { \dfrac{1.5.9.13c_1}{7!.8.9}} = { \dfrac{1.5.9.13c_1}{9!}}

Vậy ta có:

c_{2n} = - { \dfrac{3.7.11...(4n-5)}{(2n)!}}c_0

c_{2n+1} = { \dfrac{5.9.13...(4n-3)}{(2n+1)!}}c_1

Do đó ta có nghiệm của phương trình:

y=c_0(1-{ \dfrac{1}{2!}}x^2-{ \sum\limits_{n=2}^{\infty}{ \dfrac{3.7.11...(4n-5)}{(2n)!}}x^{2n}})+\\ c_1(x+{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{1.5.9...(4n-3)}{(2n+1)!}}x^{2n+1}})

Nhận xét:

  • Dễ dàng nhận thấy hai chuỗi vừa tìm được hội tụ với mọi x.
  • Trong ví dụ này, ta không thể nào biểu diễn hai chuỗi số vừa tìm được thông qua các hàm số sơ cấp đã biết.

Bài tập:

Sử dụng phương pháp chuỗi số, giải các bài tập sau:

1. y' - y = 0 Đáp số: y = c_0{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \dfrac{x^n}{n!}}} = c_0e^x

2. y' = xy Đáp số: y = c_0{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \dfrac{x^{2n}}{2^{n}n!}}} = c_0e^{ \dfrac{x^2}{2}}

3. y'' + xy' + y = 0

4. (x^2 +1)y'' + xy' - y = 0

5. y'' = xy

6. y'' - xy' - y = 0

7. y'' + x^2y = 0 , y(0) =1, y'(0) = 0

8. y'' + x^2y' + xy = 0 , y(0) = 0, y'(0) = 1

Advertisements

Thảo luận

23 thoughts on “Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân

  1. các bạn ơi cho mình hỏi cách giải bài vi phân sau: y” – 4y’= e^x ((-4x+4)cosx-(2x+6)sinx)

    Số lượt thích

    Posted by mai thị chi | 15/05/2015, 11:03
  2. cho em hỏi một bài này: Q=3L^(1/3)K^(2/3), sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng mức thay đổi của Q khi K tăng từ 1000 lên 1000,5 và L giảm từ 125 xuống 124

    Số lượt thích

    Posted by Dương Quế | 13/12/2014, 16:09
  3. có ai giúp mình giải phương trình vi phân này với:
    huhu, mình làm k ra.
    ( x * y’ – y) arctan (y/x) = x
    thank nhiều!!!

    Số lượt thích

    Posted by tienchang1 | 30/09/2011, 11:31
  4. Ai giúp em giải bài này với ạ: y’ = ycos(x-y)

    Số lượt thích

    Posted by quyen | 02/01/2010, 21:25
  5. mình có bài này, không biết có thể sử dụng kiến thức mà bạn nói ở trên để giải không:

    for each integer n \ge 2 , we consider the iteration equation:
    u_n = u_{n -1} + 2u_{n-2} + (-1)^n
    if we put u_o = u_1 = 1 , we obtain a sequence (u_n)_n and for each complex z the power series:
    u(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}u_n.z^n
    if we suppose that R,bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa với |z| < R, ta có: u(z) = \dfrac{1 + z +z^2}{(1-3z)(1+z)^2} là đúng hay sai

    Số lượt thích

    Posted by ntd | 14/08/2009, 22:21
    • Bài này không phải là dạng ứng dụng chuỗi số để giải phương trình vi phân mà đây là dạng xây dựng chuỗi số phức khi biết dạng công thức truy hồi của nó. Bài này thuộc phần khai triển Taylor-Maclaurin cho chuỗi số phức. Để giải bài này, cần sử dụng lý thuyết thặng dư cho chuỗi phức.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 16/08/2009, 10:17
  6. Rất vui khi biết bạn đang làm về lĩnh vực phương trình vi phân. Hướng của mình đang làm là lý thuyết bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân hàm.nhưng cũng còn nhiều trở ngại. Thật bất ngờ khi biết giáo sư Ngô Ngọc Diệp đang nghiên cứu về lĩnh vực này, vì trước đây, GS Diệp chuyên nghiên cứu về lý thuyết nhóm Lie để khảo sát các đa tạp. Nếu bạn có những nguồn tài liệu nào về vấn đề này (tiếng Anh càng tốt), mong bạn share giúp mình.

    Cảm ơn bạn đã góp ý Về việc viết tên Tiếng Việt. Tuy nhiên, hiện tại, đa số các giáo trình đều viết tên các công thức, định lý theo nguyên bản tên của nhà Toán học. Điều này giúp các bạn sinh viên dễ dàng tiếp cận với các nguồn giáo trình tiếng Anh hoặc các tài liệu liên quan. Mặc dù vậy, mình sẽ thêm phiên âm tiếng Việt ngay sau các tên nhà Toán học để mọi người dễ theo dõi.

    Thân mến,

    P.S: Ngoài các cách trên, ta còn có cách ứng dụng dãy Fourier (Phu-ri-ê) và phép biến đổi Laplace để giải ptvp nữa

    Số lượt thích

    Posted by 2Bo02B | 13/03/2009, 16:42
  7. Xin chào các bạn!
    Mình là Huấn đang học ở Liên bang Nga và cũng đang nghiên cứu về phương trình vi phân. Của mình là ứng dụng lý thuyết nhóm Li vào dể giải các phương trình vi phân. Lĩnh vực này ở Việt Nam có giáo sư Ngô Ngọc Diệp là làm gần nhất. Bạn viết rất cụ thể về phương pháp dùng dãy số để giải phương trình. Tuy nhiên khi nêu tên các nhà khoa học nên viết bằng tiếng Việt, tiếng anh sẽ có ít người hiểu lắm. Mục đích của bạn là viết lên để cho mọi người cùng đọc đúng không. Vì thế nên viết tất cả bằng tiếng Việt. Mình bật mí là cùng với chuỗi có thêm ứng dụng dãy Phu-ri-ê để giải phương trình đấy. Phương pháp này ứng dụng với các phương trình có nghiệm tuần hoàn ví dụ như bài toán về phương trình dao động của dây đàn ghi ta!

    Số lượt thích

    Posted by Hoàng Ngự Huấn! | 13/03/2009, 04:47

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 759 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
Advertisements
%d bloggers like this: