Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-I2

Nội dung bài viết này không đi sâu vào các vấn đề lý thuyết của bài toán mà sẽ bàn luận các phương pháp để giải quyết các bài tích phân 2 lớp rơi vào những trường hợp phải chuyển qua tọa độ cực hoặc đổi biến. Vì vậy, các bạn nên xem các giáo trình liên quan để nắm rõ cơ sở lý thuyết của bài toán.

1. Mối liên hệ giữa tích phân 2 lớp trong tọa độ Decarster (Đề- các) vuông góc (Oxy) và tọa độ cực:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} (1)

Chú ý:

tptdcuc1. Nếu miền lấy tích phân D giới hạn bởi 2 tia xuất phát từ cực: \varphi = \alpha , \varphi = \beta (\alpha \le \beta) tiếp xúc với biên của miền D tại A và B và đoạn đường cong APB có phương trình r = g(\varphi) , đoạn đường cong AQB có phương trình: r = h(\varphi) thì (1) được tính như  sau:

\iint\limits_D f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdrd{\varphi} \, = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \, d{\varphi} \int\limits_{g(\varphi)}^{h(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (2)

2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền HD tại 1 điểm có bán kính vec tơ là r(\varphi) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi} \, d{\varphi} \int\limits_{0}^{r(\varphi)} f(rcos{\varphi};rsin{\varphi}) \, rdr (3)

3. Trong tọa độ cực để tích tích phân 2 lớp thường tính tích phân theo r trước.

2. Phương pháp xác định cận:

Bước 1: Nhập môn. Cần nằm lòng 4 điều quan trọng sau:

1. Bài toán nào thì chuyển sang tọa độ cực được?

Mọi bài toán đều có thể chuyển qua tọa độ cực được. Tuy nhiên, ta chỉ nên đổi để biến miền D từ phức tạp thành đơn giản. Bài nào tính dễ dàng trong tọa độ vuông góc thì bạn cứ tính toán bình thường. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi:

- Hàm dưới dấu tích phân có chứa \sqrt{x^2 + y^2} , đồng thời miền D giới hạn bởi các đường thẳng đi qua O.

- Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa x^2 + y^2

2. Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn.

3. Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân:

1. Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy (với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 2 \iint\limits_{D'} f(x;y) \, dxdy (với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 0

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = 4 \iint\limits_{D*} f(x;y) \, dxdy (với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

4. Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa độ cực mở rộng. Nghĩa là: r \ge 0 ; 0 \le \varphi \le 2{\pi} (-{\pi} \le \varphi \le \pi ) , tức r dương, góc quay \varphi chỉ xét trong 1 vòng đường tròn lượng giác.

Bước 2: Xuất chiêu. Phương pháp xác định cận:

Cách 1:  xác định cận bằng phương pháp hình học.

- Vẽ miền lấy tích phân D.

- Xác định 2 tia \varphi = \alpha , \varphi = b tiếp xúc với biên miền D.  Nghĩa là, tìm 2 phương trình đường thẳng y = {\alpha}x ; y = {\beta}x tiếp xúc với đường cong  (C) giới hạn miền D lần lượt tại A, B.

- Vẽ bất kỳ 1 tia nằm giữa \alpha , \beta cắt biên D tại 2 điểm P, Q.  Xác định phương trình của  cung APB và AQB bằng cách chuyển đường cong (C) qua tọa độ cực. Tìm biểu thức xác định của r. Biểu thức nào có giá trị r nhỏ hơn, đó chính là phương trình của cung APB: r = g(\varphi) ,  còn lại là phương trình của cung AQB: r =h(\varphi) .

Nếu O thuộc miền D, hoặc trên biên của miền D thì cận dưới r = g(\varphi) = 0

Khi đó: cận tích phân sẽ là D = \left\{ \alpha \le \varphi \le \beta ; g({\varphi}) \le r \le h(\varphi) \right\}

Thảo luận

72 thoughts on “Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

  1. Thầy giải giúp em với, em giải mà kết quả vẫn sai, cảm ơn thầy:
    tich phan 3 lop cua: xy.can(z)dxdydz , V giới hạn bởi mặt z=0, z=y, y=x^2, y=1.

    Like this

    Posted by Cảnh An | 05/04/2011, 00:02
  2. Thật sự chúng em rất cảm ơn thầy vì những hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu này.Trên trường chúng em được giảng rất sơ sài và gần như sau mỗi buổi học không bao giờ chúng em có thể hiểu và nắm bắt được hết bài giảng. Em cảm thấy dường như các thầy giáo hiên nay giảng dạy không có được sự nhiệt tình và tâm huyết trong công việc. Em rất mong thầy có thêm ngày càng nhiều bài viết hay hơn nữa cho chúng em học hỏi va nâng cao kiến thức của mình hơn nữa. Em chân thành cảm ơn va chúc thầy manh khỏe!

    Like this

    Posted by nguyen tan hoang vu | 24/03/2011, 10:09
  3. Thầy giúp em bài này với. Em chân thành cảm ơn
    Đổi thứ tự lấy tích phân sau:
    \int\limits_0^1 dy \int\limits_{\sqrt{y}}^{2-y} f(x,y) dx
    Xin thầy giải thích cặn kẽ giúp.

    Like this

    Posted by hoang kha | 22/03/2011, 23:39
    • Để bết cách xác định đúng cận lấy tích phân theo phương Oy (y trước, x sau) hay Ox (x trước, y sau), em nên xem lại bài tích phân trong tọa độ vuông góc nhé.
      Với bài này, đề bài cho tính theo phương Ox. Giờ mình phải vẽ lại hình.
      Đầu tiên, em vẽ cung x = \sqrt{y} \Rightarrow y = x^2 rồi vẽ đt x = 2 – y. Sau đó, giới hạn lại y từ 0 đến 1. Em sẽ được miền D giới hạn bởi tam giác cong OAB với OA: y = x^2 ; AB: y = 2 – x ; BO: x = 0
      Giờ đổi thứ tự, tức là lấy tích phân theo phương Oy.
      - Trong khoảng 0 \le x \le 1: đường vào OB, đường ra: OA
      - Trong khoảng 1 \le x \le 2: đường vào OB, đường ra AB
      Từ đó em có cận tích phân
      \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^{x^2} f(x,y) dy + \int\limits_1^2 dx \int\limits_0^{2-x} f(x,y) dy

      Like this

      Posted by 2Bo02B | 23/03/2011, 21:49
  4. Cái này nói lý thuyết nhiều quá thầy hà!!!!
    Quan trọng là làm bài tập thôi, rồi khi đó nói đến lý thuyết, chứ nói lý thuyết nhiều quá bọn học trò nó sợ đó thầy à!! Good luck!!!

    Like this

    Posted by nhat chi mai | 19/03/2011, 21:43
    • Em xem kỹ lại nhé. Phần này là bàn luận về các trường hợp cụ thể (thường hay gặp) khi đổi từ tọa độ vuông góc sang tọa độ cực. Và các bàn luận hoàn toàn dựa trên các trường hợp cụ thể khi chuyển sang tọa độ cực. Muốn giải quyết nó, tất nhiên cần phải có cơ sở lý thuyết. Chứ chỉ với các ví dụ cụ thể thì một mặt, người đọc sẽ không biết vì sao lại đổi cận được như thế; mặt khác, lại không biết với ví dụ khác sẽ xử lý như thế nào?

      Like this

      Posted by 2Bo02B | 19/03/2011, 22:53
  5. em cảm ơn thầy nhờ bài này em càng hiểu sâu sắc hơn về t/p trong tọa độ cực

    Like this

    Posted by vi chiến thắng | 08/03/2011, 00:10
  6. Thầy ơi, thầy có thể chỉ giúp em 1 bài này được không ạ ? Tìm tích phân kép của f(x, y) = xy, với miền D là nửa trên của hình tròn ( x – 2)^2 + y^2 <= 1. Em cảm ơn thầy nhiều

    Like this

    Posted by Cashy | 06/12/2010, 10:09
    • Miền D là nửa hình tròn tâm (2;0), bán kính 1 nên trước tiên, em nên đổi biến để tịnh tiến miền D về nửa trên hình tròn tâm O. Muốn vậy, em đỗi biến: X = x – 2; Y = y. Suy ra: |J| = 1
      Vậy: I = \iint\limits_{(x-2)^2+y^2 \le 1 ; y \ge 0} xy dxdy = \iint\limits_{X^2+Y^2\le 1 ; Y \ge 0} (X+2).Y dXdY
      Nếu chú ý tính chất đối xứng thì em sẽ có:
      I = 4. \iint\limits_{X^2+Y^2\le 1; X \ge 0 ; Y \ge 0} Y dXDY
      Với tích phân sau cùng, em chuyển sang tọa độ cực sẽ có kết quả.

      Like this

      Posted by 2Bo02B | 06/12/2010, 22:04
  7. thầy giúp em bài này với ạ.Tính S hình phẳng với: y=x^2, 2y=x^2, y^2=x; y^2=4x.Em đổi biến nhưng ko xác định ddc Jacoby.E chân thành cảm ơn

    Like this

    Posted by do quang tam | 08/08/2010, 00:14
  8. Thầy giúp em bài này với. Tính tích phân 2 lớp của (x+y)dxdy trong đó D giới hạn bởi các miền y=-x,y=-x+3,y=2x-1,y=2x+1. Em không hiểu tại sao trong lời giải họ ghi là đặt u=x+y và v=-2x+y? Thầy có thể giảng cách đổi biến x,y qua u,v. Mong Thầy nói rõ hơn so với những câu trả lời ở trên. Em cảm ơn Thầy ạ!

    Like this

    Posted by nguyen dan | 07/08/2010, 15:48
    • Bài này em vẫn có thể làm bình thường nhưng khi đó phải chia miền D thành 3 miền nhỏ nên việc tính toán sẽ mất công hơn. Ở đây, miền D giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng: x + y = 0; x + y = 3 và 2x – y = -1 ; 2x – y = 1 nên ta có thể đổi biến. Em xem chi tiết ở trang 2 của bài viết này nhé

      Like this

      Posted by 2Bo02B | 07/08/2010, 21:28
  9. thay giai giup em bai ta nay nha
    tich phan 2 lop cua e^can bac 2(x^2+y^2)/can bac 2(x^2+y^2) voi D={4=>+x^2+y^2=>1}

    Like this

    Posted by Duong_cute | 28/05/2010, 20:24
  10. mình ko sử lại được , đúng là x<=y<=x,

    Like this

    Posted by faregas2007 | 14/04/2010, 14:39
  11. vậy thưa thầy nếu bài có miền D là như thế này và nếu em lấy phi trước thì sao ạ
    D {với mọi (x,y)thuộc R^2 : 0<=x<=1, x<=y<=x^2} em bế tắc rồi thầy , mong thầy giúp đỡ

    Like this

    Posted by faregas2007 | 13/04/2010, 23:13
    • Bạn xem lại miền lấy tích phân nhé. Trong miền của bạn thì không thể xảy ra trường hợp 0<=x<=1 , x<=y<=x^2 được. Vì khi 0<=x<=1, thì x phài lớn hơn bằng x^2.

      Like this

      Posted by Vũ Hoàng | 14/04/2010, 12:17
  12. Em rất cảm ơn thày bài thày viết rất hay và tổng hợp toàn là kiến thức cần thiết và cơ bả nhất mà chúng em cần biết mong thày có nhiều bài viết hay hơn nua:-)

    Like this

    Posted by Ôn khắc Đỗ | 06/04/2010, 02:20

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 1 972 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

There are no public comments available to display.
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1 972 other followers

%d bloggers like this: