Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

y' = -p(x).y+q(x)  (1) (hay y'+p(x).y=q(x) )

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số e^{\int p(x) \, dx }

Ta được:

y'.e^{\int p(x) \, dx} + p(x).e^{\int p(x) \, dx}.y=q(x)e^{\int p(x) \, dx} (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số y.e^{\int p(x) \, dx} . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

\left( y.e^{\int p(x) \, dx} \right)^{'} = q(x).e^{\int p(x) \, dx}

Lấy tích phân hai vế ta được:

y.e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

y=e^{-{\int p(x) \, dx}}. \left[ \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right]

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình y' + 2x.y = 4x

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} .

Ta đươc: y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}

Hay:

{ \dfrac{d}{dx}} \left( y.e^{x^2} \right) = 4x.e^{x^2}

Lấy tích phân 2 vế ta được:

y.e^{x^2} = 4{\int x.e^{x^2} \, dx} + C = 2e^{x^2} + C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = 2 + C.e^{-x^2}

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: y = u(x).v(x)

Ta có: y' = u'.v + v'.u

Thế vào phương trình ta có: (u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)

Hay: (u'+p(x).u)v + v'.u = q(x) (*)

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u' + p(x).u = 0 (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

{ \dfrac{du}{u}}=-p(x)dx \Rightarrow u(x)=C.e^{- \int p(x) \, dx}

Chọn C = 1 ta có: u(x) = e^{- \int p(x) \, dx}

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

v' = { \dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{\int p(x) \, dx} \Rightarrow v = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

y = e^{- \int p(x) \, dx} \left[ \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} + C_1 \right]

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng y = u(x).v(x) với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: u(x) = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: y =e^{- \int p(x) \, dx}.v(x) chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

y' + p(x).y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

y = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

y = v(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Ta có: y' = v'.e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Thế vào phương trình ta có:

v'e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx} + p(x).v.e^{- \int p(x) \, dx}= q(x)

Suy ra: v' = q(x).e^{\int p(x) \, dx} . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v'(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.

Advertisements

Thảo luận

109 thoughts on “Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

  1. Nhờ thầy giải giúp em bài này:
    y’ = cos(x+y)

    Số lượt thích

    Posted by đỗ nhât dương | 11/04/2011, 22:24
  2. Thưa Thầy, trong định nghĩa, y’ có phải là y'(x).
    Nếu vậy, PTVPTT dường như là bài toán ngược của phép khai trải Lagrăng.
    Phép khai triển Lagrang yêu cầu biết đạo hàm cấp n của hàm số để xấp xỉ hàm số tại lân cận x0 nào đó
    Với PTVPTT thì lại biết đạo hàm, nhưng lại cần biết nguyên hàm.
    Vậy có nên suy nghĩ về cách giải nữa không.

    Số lượt thích

    Posted by hoàng Mạnh Hà | 27/03/2011, 15:40
    • Ở đây, em có chút nhầm lẫn. Khai triển Larrange, không phải là biết hàm số, tìm đạo hàm, mà chỉ là ứng dụng đạo hàm để tìm đa thức bậc n có giá trị xấp xỉ hàm f(x) tại lân cận điểm x0, chứ không phải tại mọi giá trị của x. Do đó, nó không là bài toán ngược của pt vi phân được.
      Ta có: y’ = cosx là một trường hợp đặc biệt của ptvp. Nó có nghiệm y = sinx thỏa mãn pt. Như vậy, ptvp không có mối liên hệ gì với phép khai triển Larrange cả.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 28/03/2011, 20:57
  3. Thầy giáo và các bạn giải họ em PT này: y’=(3x^2)/(x^2+y+1)

    Số lượt thích

    Posted by thọ | 25/03/2011, 21:27
  4. bài này:2.(x+y.y’)^2=y^2.(1+(y’)^2) ; của bạn nam khánh mình giải như sau:

    Đặt : u=y^2 -> u’=2y.y’ ,PT đã cho trở thành: u=8x^2+8x.u’+u’^2

    Đặt : u’=t —-> du=t.dx —> tdx=16x.dx +8x.dt+8t.dx +2t.dt (PT này quen rồi )

    Số lượt thích

    Posted by thọ | 25/03/2011, 20:40
  5. Xin cảm ơn tác giả

    Số lượt thích

    Posted by nguyen duy tam | 10/01/2011, 23:14
  6. Thầy ơi, em không biết em làm đúng không mà ra 1 tích phân em không làm được. Mong thầy chỉ giùm em
    1 – xy = 1/y’

    Số lượt thích

    Posted by Ninh Thân | 10/01/2011, 20:17
  7. thầy ơi, nhờ thầy giải hộ em bài này: y’=3/y + x

    Bài này là đề thi học kỳ năm ngoái ở trường em,mong thầy giải cho và hướng dẫn những dạng tương tự

    Số lượt thích

    Posted by trang | 29/12/2010, 18:46
  8. Nhờ mọi người giải hộ bài này: (x^2+4)y’+4xy=4

    Số lượt thích

    Posted by liuziwei | 27/12/2010, 09:50
    • Em có: y' +\dfrac{4x}{x^2+4}y = \dfrac{4}{x^2+4} (*) (pt tuyến tính cấp 1)
      Em có 3 cách để giải, em sử dụng cách giải nào cũng được.
      Ví dụ: pp biến thiên hằng số:
      Giải pt tt thuần nhất: y' + \dfrac{4x}{x^2+4}y = 0
      \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x}{x^2+4}y \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = -\dfrac{4x}{x^2+4}
      Suy ra: lny = -2ln(x^2+4) + lnC
      Hay y = \dfrac{C}{(x^2+4)^2} (đây là nghiệm tổng quát của pt tuyến tính thuần nhất (**))
      Khi đó, theo pp biến thiên hằng số em có nghiệm pt(*) có dạng: y = \dfrac{u(x)}{(x^2+4)^2}
      Thế vào (*) em tìm được u(x).

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 27/12/2010, 22:47
  9. thầy ơi, nhờ thầy giải hộ em bài này: y’=3/y + x

    Số lượt thích

    Posted by linh | 26/12/2010, 16:01
  10. thầy ơi giải giúp em bài này với
    phương trình vi phân bernoulli: xy’ + y = -xy2

    Số lượt thích

    Posted by lê thị tường vi | 21/12/2010, 22:02
  11. Thầy ơi, phương trình vi phân cấp một không giải ra đối với đạo hàm là gì thầy?
    VD:
    a) 4.(y’)^2 – 9x = 0
    b) (y’)^2 – 2.y.y’ = y^2.(e^2x – 1)
    c) x^2.(y’)^2 + 3.x.y.y’ + 2y^2 = 0
    d) y’ = y. (e^x + lnx)

    Số lượt thích

    Posted by Ninh Thân | 16/12/2010, 08:13
  12. Thầy ơi, bài này làm sao giải vậy thầy
    2.(x+y.y’)^2=y^2.(1+(y’)^2)

    Số lượt thích

    Posted by Võ Nam Khánh | 13/12/2010, 20:34

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 759 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
Advertisements
%d bloggers like this: