Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

y' = -p(x).y+q(x) (1) (hay y'+p(x).y=q(x) )

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số e^{\int p(x) \, dx }

Ta được:

y'.e^{\int p(x) \, dx} + p(x).e^{\int p(x) \, dx}.y=q(x)e^{\int p(x) \, dx} (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số y.e^{\int p(x) \, dx} . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

\left( y.e^{\int p(x) \, dx} \right)^{'} = q(x).e^{\int p(x) \, dx}

Lấy tích phân hai vế ta được:

y.e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

y=e^{-{\int p(x) \, dx}}. \left[ \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right]

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình y' + 2x.y = 4x

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} .

Ta đươc: y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}

Hay:

{ \dfrac{d}{dx}} \left( y.e^{x^2} \right) = 4x.e^{x^2}

Lấy tích phân 2 vế ta được:

y.e^{x^2} = 4{\int x.e^{x^2} \, dx} + C = 2e^{x^2} + C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = 2 + C.e^{-x^2}

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: y = u(x).v(x)

Ta có: y' = u'.v + v'.u

Thế vào phương trình ta có: (u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)

Hay: (u'+p(x).u)v + v'.u = q(x) (*)

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u' + p(x).u = 0 (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

{ \dfrac{du}{u}}=-p(x)dx \Rightarrow u(x)=C.e^{- \int p(x) \, dx}

Chọn C = 1 ta có: u(x) = e^{- \int p(x) \, dx}

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

v' = { \dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{\int p(x) \, dx} \Rightarrow v = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

y = e^{- \int p(x) \, dx} \left[ \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} + C_1 \right]

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng y = u(x).v(x) với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: u(x) = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: y =e^{- \int p(x) \, dx}.v(x) chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

y' + p(x).y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

y = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

y = v(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Ta có: y' = v'.e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Thế vào phương trình ta có:

v'e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx} + p(x).v.e^{- \int p(x) \, dx}= q(x)

Suy ra: v' = q(x).e^{\int p(x) \, dx} . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v'(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.

Trang: 1 2

Thảo luận

109 bình luận về “Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti”

  1. em có hai bài này, mà không biết làm như thế nào, mong thầy và các bạn giúp đỡ hướng giải ạ:
    1. y’ = ( y+2)^1/3
    2. y” – 2y’ + 2y = x+1+sinx

    Đã thích bởi 2 người

    Posted by vũ hoàng | 23/06/2014, 00:56
    Reply to this comment

  2. Thầy viết không nhiều gì hết viết giống như trang Terrytao thì thích hơn

    Thích

    Posted by Mathematical Analysis | 15/11/2013, 08:03
    Reply to this comment

  3. Giải giúp em bài này với xZ”xy = yZ”yy + Z’y

    Thích

    Posted by leduong | 13/08/2012, 03:36
    Reply to this comment

  4. giúp em giải bài này với ạ 😀 (e^xy – y) dx + (x*e^xy/y – 2x)dy =0

    Thích

    Posted by haivetnguyen | 22/05/2012, 21:15
    Reply to this comment

  5. phải nêu cả ví dụ ra cho dễ hiểu

    Thích

    Posted by hưng | 15/12/2011, 10:06
    Reply to this comment

  6. Bạn đặt z=x+y.vậy thì z’=1+y’.thay vào pt đầu ta được:z’=cosz+1 hay z’=2(cos(z/2))^2.
    xét trường hợp cos(z/2) khác không: chia 2 vế cho 2(cos(z/2))^2 rồi lấy tích phân hai vế ta được:tan(z/2)=x+c.
    Trả lại biến cũ: ta đươc phương trình vi phân tổng quát:tan((x+y)/2)-x=c.
    xét trường hợp cos(z/2)=0: hay z=pi+k2pi. Thay trực tiếp vào để thử, ta thấy thỏa mãn. Vậy: y+x=pi+k2pi cũng là nghiệm.

    Đã thích bởi 2 người

    Posted by khoa | 13/04/2011, 09:10
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 786 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…