Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-7V

1. Định nghĩa tích phân kép:

fig22Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D).

Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là {\Delta}S_i , i = 1,2,.., n và mỗi miền có đường kính là d_i (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: d_i = \{ d(x,y); \forall (x,y) \in {\Delta}S_i \} )

Lấy trên mỗi miền 1 điểm P_{i}(x_i;y_i) khi đó trên mỗi miền {\Delta}S_i , thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có đáy là {\Delta}S_i và chiều cao là f(x_i;y_i) . Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:

V_n = \sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i;y_i)}{\Delta}S_i

Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho n \to \infty sao cho max(d_i) \to 0 . Khiđó, nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu \int{\int\limits_D f(x;y) } \, ds

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.

2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:

\iint\limits_D f(x;y) \, ds = \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy

3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy. Nghĩa là, \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy tồn tại (ta công nhận điếu này)

2. Tính chất của tích phân kép:

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:

1. \iint\limits_D \, dxdy = S(D) (diện tích miền D)

2. \iint\limits_D C.f(x;y) \, dxdy = C.{\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy}

3. \iint\limits_D f(x;y)+g(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ có điểm biên chung) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_{D_2} f(x;y) \, dxdy}

5. Nếu f(x;y) \le g(x,y) trên D, thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy \le {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

6. Nếu m \le f(x;y) \le M, \forall (x;y) \in D thì

m.S(D) \le {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} \le M.S(D)

Thảo luận

136 thoughts on “Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

  1. Chào Thầy. Thầy có thể chỉ cho em bài này không ạ? “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y, x = 2y, xy =1, xy =4”

    Like

    Posted by Hieu | 25/05/2011, 21:42
  2. theo minh f bạn vẽ hình ra sau đó XĐ cận nhu cách của thầy là xong !bước tiếp theo cứ thế mà tính thôi !

    Like

    Posted by tú toàn | 15/05/2011, 10:44
  3. thầy ơi cho e hỏi làm sao tính tích phân bội 2 khi cho miền D là tọa độ 3 điểm

    Like

    Posted by vy lan | 14/05/2011, 10:01
  4. thầy ơi giúp e với e đang làm tiểu luận về tích phân kép và ứng dụng
    thầy
    e yêu cầu là phải có phần đặt vấn đề mà e hok pít đặt vấn đề sao hết
    thầy giúp e nha thầy

    Like

    Posted by quỳnh thư | 27/04/2011, 22:17
  5. thưa thầy , thấy có thể giới thiệu sơ qua về tích phân phụ thuộc tham số mà chi tiết càng tốt thầy ạ , em thấy phần này hơi khó hiểu

    Like

    Posted by vi chiến thắng | 29/03/2011, 23:55
  6. Em xin hỏi thầy 1 bài toán,em kh hiểu rõ phần lấy miền bị chắn bởi 2 đường tròn:
    VD : viết tích phân kép với G là miền bị chặn bởi các đường cong x^2+y^2=ax,x^2+y^2=2ax (a>0,y>0). Lúc vẽ ra,em kh hiểu a>0,y>0 thì minh lấy phần nào của đường tròn.Em cảm ơn thầy!!!!!!!!!!!!

    Liked by 1 person

    Posted by nguyễn thị ánh tuyết | 29/03/2011, 17:34
    • Đây là 2 đường tròn có tâm trên trục hoành.
      x^2 + y ^2 = ax (1), đường tròn tâm tại (a/2;0) bán kính a/2
      x^2 + y^2 = 2ax (2), đường tròn tâm tại (a;0) bán kính a.
      Do đó miền bị chặn giữa 2 đường cong chính là phần nằm ngoài đường tròn (1) và nằm trong đường tròn (2)
      Đề bài cho a > 0 để tâm nằm trên phần x dương. y > 0 thì em chỉ lấy nửa phần phía trên trục hoành thôi.
      Chuyển qua tọa độ cực em sẽ có: 0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{2} ; a.cos{\varphi} \le r \le 2a.cos{\varphi}

      Like

      Posted by 2Bo02B | 30/03/2011, 10:10
  7. Em vẽ hình ra thì sẽ thấy trong miền D thì x sẽ chạy từ 0 đến 2 mà.

    Like

    Posted by tran thai binh | 11/03/2011, 16:45
  8. Thầy ơi làm ơn cho em hỏi. trong trường hợp yêu cầu tính tích phân kép của 1 hàm số không cụ thể thì phải làm thế nào ạ? Ví dụ đề bài cho: Biết ∫(1-x)f(x)dx=5 với tích phân từ [0,1] và yêu cầu tính tích phân kép ∫∫f(x-y)dydx tích phân đầu là từ [0,1] và tích phân sau từ [0,x]. Em đã thử nhiều phương pháp mà không tính được. Mong hồi âm của thầy ạ.

    Like

    Posted by Nguyen | 12/02/2011, 15:53
  9. thầy ơi, phần tích phân kép em có làm một số bài tập có vẽ hình nhưng có bài này em không biết làm sao hết ạ. Thầy giúp em với.
    \iint\limits_{D}x^{3}y^{3}dxdy
    D giới hạn: x^{2}+y^{2} \leq 1, y \leq \left| x \right|, x \rm{>} 0

    Like

    Posted by ngaymai | 09/11/2010, 20:37
    • Bài này do miền D là cung tròn nên ta chuyển tích phân sang tọa độ cực để tính. Tuy nhiên, ở đây do miền D là miền đối xứng qua Ox, mà hàm lấy tích phân là hàm lẻ theo biến y nên theo tính chất của tích phân bội ta có tích phân bằng 0.

      Like

      Posted by 2Bo02B | 09/11/2010, 21:13
  10. thầy ơi, bài tích phân kép nào cũng cần phải vẽ hình để xác định cận hả thầy. Em thi toán trắc nghiệm nên nhiều lúc làm không kịp. Vậy thầy có cách nào để xác định cận mà không cần vẽ hình không thầy?
    Em cảm ơn thầy nhiều.

    Like

    Posted by ngaymai | 03/11/2010, 23:43
  11. \iint_{D}\left ( x^{2}+ xy \right )dxdy D giới hạn bởi: y=x, y=2x, x=2
    thầy cho em hỏi là làm cách nào để có thể giới hạn cận của x ạ? theo đề bài chỉ cho x=2 thôi nhưng trong bài giải của sách thì có x=0 nữa. Thầy giải thích giùm em với ạ.

    Like

    Posted by ngaymai | 02/11/2010, 19:55
    • Em xem cách xác định cận của miền D ở phía trên nhé.
      Ở đây, miền D giới hạn bởi y = x; y = 2x; x = 2 nên D giới hạn bởi tam giác OAB với O(0;0); A(2;2); B(2;4)
      Khi đó: theo phương Oy: đường vào: OA: y = x; đường ra OB: y = 2x; với mọi x thuộc [0;2]
      Vậy D = \{ 0 \le x \le 2; x \le y \le 2x \}

      Like

      Posted by 2Bo02B | 02/11/2010, 20:33
  12. Em chào thầy ! Nhờ thầy chỉ cho em bài toán này : tính tích phân 2 lớp ∫∫f(x,y)dxdy
    A
    trong đó :
    1) f(x,y) = | 2x- x2 – y | , A = { (x,y) : x2 + y2 ≤ 2y}

    Like

    Posted by Nguyen Van Khiem | 19/08/2010, 12:08
    • Để tính tích phân, em cần phá bỏ trị tuyệt đối, muốn vậy em cần xác định xem trong miền A (hình tròn tâm(0;1), bán kính 1) thì miền nào thỏa 2x - x^2 - y \ge 0 và miền nào thảo 2x - x^2 - y \le 0

      Like

      Posted by 2Bo02B | 11/03/2011, 21:26

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2.725 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: