Đạo hàm hàm số ẩn

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu $\forall x \in E$ thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có: $F(x,f(x)) = 0 , \forall x \in E$

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình $x^2 + y^2 = 1 (1)$ xác định 2 hàm số $y = \sqrt{1-x^2} , y = -{\sqrt{1-x^2}}$ nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó $F: U \subset R^2 \to R$ là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử $\mathop (x_0;y_0) \in U : F(x_0;y_0) = 0$ , nếu $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$ thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của $x_0$ một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng $y_0$ khi $x = x_0$ , liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$

3. $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$

Ví dụ: Phương trình $y^x = x^y$ xác định 1 hàm số ẩn vì xét: $F(x,y) = y^x - x^y$ xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 , $F_y^{'} = xy^{x-1} - x^{y}lnx$ $\Rightarrow F_y^{'}(1;1) = 1 \ne 0$

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0$

Mà ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} \ne 0$ nên suy ra: ${ \dfrac{dy}{dx}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}} (2.1)$

Ví dụ: Cho $x^2 + siny - 2y = 0$ Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}}$ ?

Xét $F(x;y) = x^2 + siny - 2y$ . Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} = 2x ; { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} = cosy - 2 \ne 0 , \forall y$

Do đó: ${ \dfrac{dy}{dx}} = - { \dfrac{2x}{cosy-2}}$

Lưu ý: Việc tìm $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$ là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: $x^2 + y^2 = -1$ ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

– Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}} , { \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ nếu $x - y + arctgy = 0$

Xét $F(x;y) = x - y + arctgy$ (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có: $y_x^{'} = - { \dfrac{1}{-1 + { \dfrac{1}{1+y^2}}}} = { \dfrac{y^2+1}{y^2}} = 1 + { \dfrac{1}{y^2}} (*)$

Để tìm đạo hàm cấp 2 ${ \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ , ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

${ \dfrac{d^2y}{dx^2}} = - { \dfrac{2y.y_x^{'}}{y^4}} = - { \dfrac{2(1+y^2)}{y^5}}$

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = 0$

Nếu ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}} \ne 0$ thì suy ra: ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.2)$

Tương tự: ${ \dfrac{\partial z}{\partial y}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.3)$

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0:

${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}dy + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}dz = 0$

Sau đó, tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Khi đó $A = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , B = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}$

(Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các ví dụ)

Thảo luận

30 bình luận về “Đạo hàm hàm số ẩn”

Tính đạo hàm y’= dy/dx của hàm số ẩn xác định bởi pt 3x^2*y^3+y^2-4x=0

ThíchĐã thích bởi 1 người

Posted by Doàn Quang Thái | 03/04/2017, 21:02

Reply to this comment
thầy có thể nêu vd về hàm ẩn đc k? em ms lên. đọc sách k có ghi nên k rõ lắm

ThíchThích

Posted by toàn | 22/09/2015, 21:20

Reply to this comment
thầy ơi,chứngminh giùm e dx/dy = 1/(dy/dx)

ThíchThích

Posted by Khoa | 08/01/2015, 13:47

Reply to this comment
thầy ơi một hàm f(x,y) có đạo hầm cấp riêng 2 tại thì có chắc chắn luôn tồn tại đạo hàm cấp 1 không ạ

ThíchThích

Posted by mnghia | 26/12/2014, 08:59

Reply to this comment
thầy ơi bài tập sử dụng đạo hàm hàm ẩn để viêt pt tiếp tuyến và xét tính lồi lóm ntn ạ
f(x)=x(lnx)^2+x(y+1)^2+(y+1)^2/2−7

với x>0,y>-1
a) Viết biểu thức vi phân toàn phần của f(x,y)
b) Với g(x) là hàm số xác định bởi f(x,y)=0. Viết phương trinh tiếp tuyến của y=g(x) tại tiếp điểm có hoành độ x =1.
c) Xét tính lồi lõm tại lân cận của x=1

ThíchThích

Posted by hiền | 10/05/2013, 17:42

Reply to this comment
tìm đạo hàm y'(0) của hàm số ẩn y=y(x) được cho bởi phương trình x^3+lny-(x^2).(e^y)=0

ThíchThích

Posted by linh | 24/01/2013, 21:03

Reply to this comment
anh có thể cho em biết ý nghĩa đạo hàm hàm ẩn không. vẽ hình minh họa thì như thế nào.

ThíchThích

Posted by Hoàng Minh | 19/05/2012, 10:53

Reply to this comment
thầy ơi giải giúp em bài này em giải nhiều lần mà không ra
tìm các đạo hàm riêng của hàm ẩn Z=(x;Y) xác định từ phương trình
e ^ (XYZ) = f (sin xy ) biết f là hàm khả vi

ThíchThích

Posted by bùi nhất quốc | 17/05/2012, 08:11

Reply to this comment
thưa thầy em kô hiểu ở chỗ đạo hàm riêng cấp 2 sao lại nhân thêm y’

ThíchThích

Posted by kien | 20/12/2011, 23:00

Reply to this comment
xin hướng dẫn dùm em bài này
tìm z”xx nếu z = x^2 + y^2 ở đó y = y(x) đc xđ bới pt x^2 – xy + y^2 =1

ThíchĐã thích bởi 1 người

Posted by 2907 | 07/05/2011, 16:12

Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm