Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-7p

KEYWORD: Integrals involving roots, Euler substitution

1. Các tích phân cơ bản:NEW UPDATE

1. \int {\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \arcsin \dfrac{x}{a} + C

2. \int {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + k} }}dx} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + k} } \right| + C

3. \int {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} = \dfrac{1}{2}x\sqrt{{a^2} - {x^2}} + \dfrac{1}{2}{a^2}\arcsin \dfrac{x}{a} + C

4. \int {\sqrt {{x^2} + k} dx} = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} + k} + \dfrac{k}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + k} } \right| + C

2. Tích phân dạng: \int {R \left( {x, \left( {\dfrac{ax+b}{cx+d}} \right)^{\dfrac{m_1}{n_1}}, \left( {\dfrac{ax+b}{cx+d}} \right)^{\dfrac{m_2}{n_2}}, \left( {\dfrac{ax+b}{cx+d}} \right)^{\dfrac{m_3}{n_3}},...,} \right)dx}

Gọi s là mẫu số chung của \dfrac{{{m_1}}}{{{n_1}}},\dfrac{{{m_2}}}{{{n_2}}},...,\dfrac{{{m_n}}}{{{n_n}}}

Đặt: \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} = {t^s} để đưa về tích phân hữu tỉ.

Ví dụ 2.1: Tính I_{21} = \int {\dfrac{{1 - \sqrt {x + 1} }}{{1 + \sqrt[3]{{x + 1}}}}dx}

Do trong biểu thức tính tích phân có chứa (x+1)^{1/2} ; (x+1)^{1/3} nên ta đặt:

x+1=t^6

Khi đó: \sqrt{x+1} = t^3 ; \sqrt[3]{x+1} = t^2 ; dx = 6t^5dt

Nên:

I_{21} = \int\dfrac{6t^5(1-t^3)}{1+t^2}dt = \int \left( {-6t^4+6t^2+6t-6\dfrac{t}{t^2-t+1}} \right)dt

Áp dụng dạng 3 của tích phân phân thức hữu tỉ ta có:

I_{21} = -\dfrac{6t^5}{5} + 2t^3 + 3t^2 -6 \int\dfrac{\dfrac{1}{2}(2t-1)+\dfrac{1}{2}}{t^2-t+1}dt

Hay:

I_{21} = \dfrac{6t^5}{5} + 2t^3 + 3t^2 -3\int\dfrac{2t-1}{t^2-t+1}dt +3\int\dfrac{dt}{\left( {t-\dfrac{1}{2}} \right)^2+ \left( {\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \right)^2}

Do đó:

I_{21} = \dfrac{6t^5}{5} + 2t^3 + 3t^2 - 3 \ln{(t^2-t+1)} +2\sqrt{3} \arctan \left( {\dfrac{2t-1}{\sqrt{3}}} \right) + C

Vậy:

\begin{array}{l} I_{21} = \dfrac{6\sqrt[6]{(x+1)^5}}{5} + 2\sqrt{x+1} +3\sqrt[3]{x+1} -3\ln{(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[6]{x+1}+1)} + 2\sqrt{3} \arctan \left( {\dfrac{2\sqrt[6]{x+1}-1}{\sqrt{3}}} \right) + C \\ \end{array}

Ví dụ 2.2: Tính I_{22} = \int{\dfrac{dx}{x^{1/2}-x^{1/4}}dx}

Đặt x = z^4 khi đó dx = 4z^3dz và:

\begin{array}{ll} I_{22} & = \int{\dfrac{4z^3}{z^2-z}\, dz}= \int{\dfrac{4z^2dz}{z-1}} \\ & = 4\int{\left( {z+1+\dfrac{1}{z-1}} \right) \,dz} \\ & = 2z^2 + 4z+4\ln{|z-1|} + C \\ & = 2\sqrt{x} +4\sqrt[4]{x} + 4 \ln |\sqrt[4]{x}-1| + C \\ \end{array}

3. Tích phân nhị thức vi phân: \int {{x^m}{{(a + b{x^n})}^p}dx} ,(m,n,p \in Q;a,b \in R)

Tích phân chỉ có nguyên hàm nếu rơi vào 1 trong 3 trường hợp sau:

1. p \in Z . Đặt \mathop x = t^s . Với s là mẫu số chung của m và n.

2. \dfrac{{m + 1}}{n} \in Z. Đặt \mathop a+bx^n = t^k , với k là mẫu số của p.

3. \dfrac{m+1}{n}+p \in Z . Dùng phép thế \mathop ax^{-n}+b = t^k , với k là mẫu số của p.

Ví dụ 3.1: Tính I_{31} = \int {\dfrac{{xdx}}{{\sqrt {1 + \sqrt[3]{{{x^2}}}} }}}

Ta có: \int{x. \left({1+x^{2/3}} \right)^{-1/2}}dx

Khi đó: m=1; n = \dfrac{2}{3} ; p =-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{m+1}{n} = 3 \in Z

Vậy tích phân thuộc dạng 2 nên đặt:

1 + x^{2/3} = t^2

Suy ra: x = (t^2-1)^{3/2} \Rightarrow dx = \dfrac{3}{2}.2t.(t^2-1)^{1/2}dt

Thế vào tích phân I_{31} ta có:

I_{31} = \int{\dfrac{(t^2-1)^{3/2}.3t(t^2-1)^{1/2}}{t}}dt = 3\int{(t^2-1)^2}dt = 3\int{(t^4-2t^2+1)}dt

Vậy:

I_{31} = \dfrac{3t^5}{5} - 2t^3 + 3t + C

Do đó:

I_{31} = \dfrac{3(1+\sqrt[3]{x^2})^{5/2}}{5} - 2(1+\sqrt[3]{x^2})^{3/2} + 3\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}} + C

Ví dụ 3.2: Tính \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt[4]{x} + 1} \right)}^{10}}}}}

Do p = -10 \in Z nên tích phân trở về tích phân dạng 2. Do đó, ta đặt: \mathop{x = t^4}

Khi đó:

I_{32} = \int\dfrac{4t^3dt}{t^2(t+1)^{10}} =4\int\dfrac{tdt}{(t+1)^{10}}

Tới đây, tích phân đã trở về dạng phân thức hữu tỉ. Tuy nhiên, nếu làm máy móc, ta phải phân tích phân thức này thành 10 phân thức hữu tỉ thật sự. Do đó, ta biến đổi tử số như sau:

I_{32} = 4\int\dfrac{[(t+1)-1]dt}{(t+1)^{10}} = 4\int{(t+1)^{-9}}dt -4\int{(t+1)^{-10}}dt \\ = -\dfrac{1}{2(t+1)^8} + \dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{(t+1)^9} + C

Vậy kết quả là:

I_{32} = -\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{(\sqrt[4]{x}+1)^8} + \dfrac{4}{9}. \dfrac{1}{(\sqrt[4]{x}+1)^9} + C

Ví dụ 3.3: Tính \int {\dfrac{{dx}}{{{x^4}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}}}}

Ta có: I_{33} = \int x^{-4}.(1+x^2)^{1/2} dx

Suy ra: m=-4;n=2;p=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{m+1}{n}+p = \dfrac{-4+1}{2}+\dfrac{1}{2}=-1 \in Z

Vậy, ta đặt: x^{-2}+1 = t^2

Để việc thế biến vào tích phân đơn giản, ta biến đổi tích phân để xuất hiện biểu thức ax^{-n}+b = x^{-2}+1 trước. Ta có:

I_{33} = \int{x^{-4}|x|(x^{-2}+1)^{1/2}}dx

Xét x \rm{> 0} ta có: I_{33} = \int x^{-3}(x^{-2}+1)^{1/2} dx (*)

Thế x^{-2} + 1 = t^2 \Rightarrow -2x^{-3}dx = 2tdt vào (*) ta có:

I_{33} = - \int t.t dt = - \dfrac{t^3}{3} + C = - \dfrac{\sqrt{x^{-2}+1}}{3} + C = - \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{3x} + C

Trang: 1 2

Thảo luận

39 bình luận về “Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)”

  1. thầy ơi thầy giúp em làm 2 bài này với ạ
    nguyên hàm dx / x+ căn bậc hai (x^2+x+1)
    nguyên hàm dx/(1+2 căn x+ căn bậc 3 của x)
    em cám ơn ạ !

    Thích

    Posted by Huyen Pham | 10/05/2013, 22:51
    Reply to this comment

  2. Thầy ơi cho e hỏi những loại tích phân không có nguyên hàm thì hướng xử lí như thế nào

    Thích

    Posted by hùng | 18/06/2012, 09:58
    Reply to this comment

  3. thầy ơi! ở ví dụ 3 phần tích phân nhị thức vi phân, thầy có nhầm 1 chỗ ở đoạn cuối: -2x^-3dx = 2tdt x^-3dx = -tdt … nhưng bên dưới lại bị thiếu mất dấu trừ nên kết quả cuối bị ngược dấu, thay vì kết quả có dấu (-) thì lại không có!

    Thích

    Posted by mr_angel9x | 04/12/2011, 16:02
    Reply to this comment

  4. Xin thầy giải cho em bài tich phân này:
    tích phân từ 0 đến duong7 vô cùng hàm (x^2 + 1)(x^2 – 3x – 1)/(x^6 + 4x^3 – 1)

    Thích

    Posted by nguyenhai | 24/09/2011, 20:29
    Reply to this comment

  5. Thầy ơi trên này là tất cả các phương pháp tính tích phân hàm vô tỉ phải không ạ.
    Cám ơn thầy . Thầy cho em hỏi còn phần lượng giác và hữu tỉ co trên này không thầy. Em muốn cop về để hệ thống kiến thức luôn một thể.

    Thích

    Posted by Hoàng Phương Nguyên | 24/01/2011, 21:04
    Reply to this comment

  6. hay quá ạ cảm ơn thầy

    Thích

    Posted by Nguyên Chương | 20/12/2010, 16:25
    Reply to this comment

  7. thầy ơi giúp em bài này với:
    \int \dfrac{\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{4}x+\cos^{4} x}\ dx

    Thích

    Posted by Nguyên Chương | 20/12/2010, 00:11
    Reply to this comment

    • Tích phân này có lũy thừa của sinx và cosx đều là lũy thừa bậc chẵn nên ta đặt: t = tanx \Rightarrow dt = \dfrac{dx}{cos^2x}
      Khi đó:
      I = \int \dfrac{t^2-1}{t^4+1}dt
      Em có thể tính tích phân này theo phương pháp tích phân hữu tỉ. Tuy vậy, tích phân ở đây có dạng trùng phương, do đó, em có thể tính như sau:
      I = \int \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{t^2} \right)}{t^2+\dfrac{1}{t^2}} dt
      Đặt u = t + \dfrac{1}{t} \Rightarrow t^2 + \dfrac{1}{t^2} = u^2 - 2 ; du = \left( 1 -\dfrac{1}{t^2} \right) dt

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 20/12/2010, 14:48
      Reply to this comment

  8. Nhờ thầy giải dùm bài tích phân đi từ 1 đền 2 của hàm số x^x

    Thích

    Posted by Lê Hữu Nhân | 13/01/2010, 19:48
    Reply to this comment

  9. Your blog keeps getting better and better! Your older articles are not as good as newer ones you have a lot more creativity and originality now keep it up!

    Thích

    Posted by Britnifreeman | 05/01/2010, 16:27
    Reply to this comment

  10. có ai tính dùm tích phân từ o đến 1 của (X^4+X^2+1)/(X^6+1) với làm được cảm ơn trước nha

    Thích

    Posted by huy | 24/06/2009, 20:14
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…