Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-R

Chỉ dẫn lịch sử

1. Công thức khai triển:

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

P_n(a) = f(a) ; P_{n}^{'}(a) = f'(a);...; P_{n}^{(n)}(a) = {{f}^{(n)}}(a) (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

{{P}_{n}}(x)={{C}_{0}}+{{C}_{1}}.(x-a)+{{C}_{2}}.{{(x-a)}^{2}}+...+{{C}_{n}}.{{(x-a)}^{n}} \qquad (2)

Các hệ số C_0, C_1, C_2, ..., C_n được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P_n(x) :

\left\{ \begin{array}{l} P_{n}^{'}(x) = C_1 + 2C_2(x-a) + 3C_3.{(x-a)}^2 + ... + nC_n{(x-a)}^{n-1} \\ P_{n}^{''}(x) = 2C_2+3.2C_3.(x-a) + ... + n(n-1)C_n{(x-a)}^{n-2} \\ .................................................................................. \\ P_{n}^{(n)}(x) = n(n-1)...2.1.C_n \\ \end{array} \right. (3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

\left\{\begin{array}{l} P_n(a) = C_0 \\ P_n^{'}(a) = C_1 \\ P_n^{''}(a) = 2.1.C_2 \\ \text{....................................} \\ P_n^{(n)}(a) = n.(n-1)...2.1C_n \\ \end{array} \right.

So sánh với điều kiện (1) ta có:

\left\{ \begin{array}{l} f(a)={{C}_{0}} \\ f'(a)={{C}_{1}} \\ f''(a)=2.1.{{C}_{2}} \\ ....................... \\ {{f}^{(n)}}(a)=n.(n-1)...2.1.{{C}_{n}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{C}_{0}}=f(a) \\ {{C}_{1}}=f'(a) \\ {{C}_{2}}={ \dfrac{1}{2!}}.f''(a) \\ ....................... \\ {{C}_{n}}={ \dfrac{1}{n!}}.{{f}^{(n)}}(a) \\ \end{array} \right. (4)

Thay các giá trị của C_0, C_1, C_2, ..., C_n vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

\begin{array}{r}P_n(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}(x-a)^2 + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}(x-a)^3 + \\ ... + { \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n \\ \end{array}

Ký hiệu bằng R_n(x) , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập P_n(x) (hình vẽ): {{R}_{n}}(x) = f(x) - {{P}_{n}}(x)

Hay:

\begin{array}{r} f(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}} + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} + {{R}_{n}}(x) \\ \end{array} (6)

taylor R_n(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư R_n(x) bé, thì khi đó đa thức P_n(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức P_n(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R_n(x)

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư R_n(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: {{R}_{n}}(x) = { \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}Q(x) (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :

\begin{array}{r}F(t) = f(x) - f(t) - { \dfrac{x-t}{1!}}f'(t) - { \dfrac{(x-t)^2}{2!}}f''(t) - ... \\ - { \dfrac{(x-t)^n}{n!}}f^{(n)}(t) - { \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array} (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

\begin{array}{l} {F}'(t)=-{f}'(t)+{f}'(t)-{ \dfrac{(x-t)}{1}}{f}''(t)+{ \dfrac{2(x-t)}{2!}}{f}''(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{2}}}{2!}}{f}'''(t)+...-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n-1}}}{(n-1)!}}{{f}^{(n)}}(t)+{ \dfrac{n{{(x-t)}^{n-1}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array}

Rút gọn lại ta được :

F'(t)=-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \qquad (9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = \xi nằm giữa a và x sao cho F'(\xi) = 0

Thế vào (9) ta có : F'(\xi )=-{ \dfrac{{{(x-\xi )}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi )+{ \dfrac{(n+1){{(x-\xi )}^{n}}}{(n+1)!}}Q

Suy ra : Q = f^{(n+1)}(\xi)

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

{{R}_{n}}(x) ={ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi ) – số hạng dư Larange

\xi là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: \xi = a + {\theta}(x-a) , \theta \in [0 ;1]

Nghĩa là : R_n(x) = { \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}[a+{\theta}(x-a)]

Công thức:

\begin{array}{r} f(x)=f(a)+{\dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a)+{ \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}}+{ \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}}+...\\ +{ \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} +{ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}[a+\theta (x-a)] \\ \end{array} – gọi là công thức khai triển Taylor (Taylor expansion) của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

\begin{array}{r} f(x) = f(0)+{ \dfrac{x}{1!}}f'(0) + { \dfrac{{{x}^{2}}}{2!}}f''(0) + { \dfrac{{{x}^{3}}}{3!}}f'''(0) + ... + { \dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(0) \\ + { \dfrac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\theta x) , \qquad \theta \in [0;1] \\ \end{array}

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R_n(x) – được gọi là công thức khai triển Maclaurin (Maclaurin expansion).

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x) liên tục tại điểm x_0 và có đạo hàmf^{(n+1)}(x) trong lân cận của x_0 thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

\begin{array}{r} f(x) = f({{x}_{o}}) + { \dfrac{f'({{x}_{o}})}{1!}}(x-{{x}_{o}}) + { \dfrac{f''({{x}_{o}})}{2!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{2}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{o}})}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n}}+{ \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}} \\ \end{array}

(c ở giữa x_0 và x, c = x_0+ a(x-x_0), 0 < a <1 )

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt x = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x_0 = 0 ):

\begin{array}{r} f(x) = f(0) + { \dfrac{f'(0)}{1!}}x + { \dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ \end{array}

Advertisements

Thảo luận

191 thoughts on “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

  1. Thầy ơi có thể hướng dẫn em khai triển cấp 2n của hàm số y=(e^x+e^-x)/2 voi ạ

    Số lượt thích

    Posted by mik | 30/04/2010, 18:17
  2. cac ban giup mih` nha: tinh xap xi 2^(1/2) voi sai so 10^(-3), 9^(1/3) sai so 10^(-3), cos18(do) sai so 10^(-4),

    Số lượt thích

    Posted by quang phuoc | 19/04/2010, 11:04
  3. Thầy ơi thầy có thể hướng dẫn em cách tìm sai số của căn bậc 2 của 2 bằng công thức Taylor-Maclaurin không? Về phần tính xấp xỉ em hơi yếu?
    Mến chúc thầy nhiều sức khỏe và thành công, chờ hồi âm!

    Số lượt thích

    Posted by DinhLy | 19/04/2010, 00:03
    • Để tính gần đúng \sqrt{u} em cần sử dụng công thức khai triển \left(1+x\right)^{\alpha} trong đó |x| < 1.
      Vậy để tính gần đúng \sqrt{2} , em cần phải đưa về dạng ({1+x})^{1/2} với |x| < 1.
      Do đó, ở đây em không thể dùng \sqrt{2} = (1+1)^{1/2} mà phải chuyển về cơ số nhỏ hơn 1. Muốn vậy em cần phải biến đổi:
      \sqrt{2} = 2{\sqrt{1/2}} = 2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^{1/2}
      Tương tự: \sqrt[3]{9} không thể viết là: (1+8)^{1/3} mà em cần phải viết:
      \sqrt[3]{9} = 2{\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}}} = 2\left(1+{\dfrac{1}{8}}\right)^{1/3}

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 21/04/2010, 20:57
  4. thầy ơi,giúp em bài này với
    Tìm khai triển maclaurin bậc 5 của 1/(1+sinx)

    Số lượt thích

    Posted by Chí Nhân | 24/02/2010, 15:29
    • Đây là dạng (1+u(x))^{\alpha} (với u(x) = sinx). Em dùng công thức dạng này khai triển đến bậc 5 theo u(x). Sau đó, tiếp tục khai triển sinx đến bậc 5, và ngắt bỏ những lũy thừa vượt quá 5. Khi đó em sẽ có kết quả

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 27/02/2010, 18:50
  5. Thầy ơi, thầy giúp em làm bài này với
    Tìm khai triển Maclaurin của hàm y= (x+1)sinx

    Số lượt thích

    Posted by Minh Nhật | 16/01/2010, 09:42
  6. thầy ơi!thầy giúp em khai triển tgx đến số hạng x^3 với ạ.Em cảm ơn thầy!

    Số lượt thích

    Posted by quỳnh | 27/12/2009, 20:35
  7. chào thầy,thầy trả lời hộ em vấn đề này với ạ!khi ta khai triển taloyr của một hàm nào đấy,ta có nhất thiết phải viết số dư kèm theo không??

    Số lượt thích

    Posted by tuấnanh | 13/12/2009, 10:02
    • Tất nhiên, do khai triển chỉ là gần đúng nên phải có số dư em à (chỉ trừ trường hợp hàm đa thức thì khi khai triển mới không có phần dư thôi). Tuy nhiên, nếu quan tâm đến số dư bằng bao nhiêu thì ta dùng số dư Larrange, còn nếu không quan tâm đến phần dư thì ta dùng số dư Peano, sau đó, dùng quy tắc ngắt bỏ VCB để bỏ đi phần dư.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 13/12/2009, 12:45
  8. thay giai giup em bai nay voi a:tu khai trien maclauranh cua ham ln(x+1) tim khai trien cua ham ln(x^2+1)

    Số lượt thích

    Posted by xuananh | 12/12/2009, 21:22
  9. Co the cho em copy bai viet ve duoi dang word duoc khong? em khong copy duoc nhung cong thuc toan

    Số lượt thích

    Posted by Nguyen Thanh Nhan | 19/11/2009, 12:20
  10. thầy ơi trang wed thầy hay quá.thầy có thể chỉ cho tui em cách để học tốt môn toán trên đại học không ạ.tụi em mới lên năm nhất nên rất khó khăn.

    Số lượt thích

    Posted by keokeo' | 12/11/2009, 14:53
    • Phương pháp thì mỗi người mỗi vẻ em à. Nhưng muốn học tốt, em phải nắm vững công thức, và điều kiện nào được sử dụng công thức đó, và cố gắng giải nhiều bài tập liên quan, kể cả những bài dễ và những dạng đã biết hướng giải. Nhiều bài nhìn vào biết hướng giải, nhưng khi bắt tay vào, mình mới thấy có những vướng mắc. Mặt khác, giải nhiều thì mình sẽ có nhiều chiêu để giải quyết.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 13/11/2009, 22:36
  11. Em chào thầy ạ, thầy ơi em muốn hỏi là khi mình khai triển Maclaurin của một hàm số nào đó mà đến bậc 2,3 thì mình có thể làm trực tiếp được nhưng nếu đề yêu cầu khai triển đến bậc 6,7,8 mà làm trực tiếp thì lâu quá hơn nữa còn nảy sinh nhiều sai sot trong quá trình tính, vậy mình có cách nào làm nhanh hơn không thầy.Nếu ta áp dung công thức thì chỉ được với những hàm số cơ bản thôi ạ còn những hàm cố phức tạp hơn thì làm sao thầy.Vi dụ:khai triển Maclaurin của ham số y=ln(cosx)đến số hạng x^4và khai triển Maclaurin của hàm số y=ln(1-x^2) đến số hạng x^6.À, thầy ơi,em muốn gửi cho thầy những bài tập được đánh bằng công thức toán nhưng em lại không biết,thầy chỉ cho em biết với.Em cám ơn thầy nhiều! Thầy không chê em dốt chứ ạ,vì em là sinh viên năm thứ nhất nên em còn bỡ ngỡ lắm ạ!

    Số lượt thích

    Posted by lemui | 09/11/2009, 23:15
    • Em sử dụng các tính chất sau để chuyển về những hàm cơ bản đã biết:
      1. f(x) \approx P_n(x) \rightarrow f'(x) \approx p_n^{'}(x)
      2. f(x) \approx P_n(x) \rightarrow \int f(x) \, dx \approx \int P_n(x) \, dx +C . Thế x =0 vào 2 vế để xác định hằng số C phù hợp
      3. Khai triển của tổng, hiệu, tích bằng tổng, hiệu, tích các khai triển.
      Ví dụ: Khai triển y =ln(x + \sqrt{x^2+1}) đến bậc 7, ta xét y’ của nó. Ta có: y' = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} = (1+x^2)^{-1} . Vậy ta khai triển y’ đến bậc 6. Sau đó lấy nguyên hàm 2 vế, chọn hằng số C thích hợp, em sẽ có khai triển của y.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 13/11/2009, 23:08

Trackbacks/Pingbacks

  1. Pingback: Mot so them ve Taylor « Itoaoaoa's Blog (alpha ver) - 01/04/2010

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 760 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
Advertisements
%d bloggers like this: