Shortlink: http://wp.me/P8gtr-R
1. Công thức khai triển:
Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.
Hãy xác định một đa thức bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:
(1)
Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).
Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:
(2)
Các hệ số được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.
Trước hết, ta tìm các đạo hàm của :
(3)
Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:
So sánh với điều kiện (1) ta có:
(4)
Thay các giá trị của vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:
Ký hiệu bằng , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập (hình vẽ):
Hay:
(6)
gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư bé, thì khi đó đa thức cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).
Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư
Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư khá bé .
Viết số hạng dư dưới dạng: (7)
Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.
Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.
Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :
(8)
Tìm đạo hàm F’(t) :
Rút gọn lại ta được :
(9)
Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.
Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.
Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị nằm giữa a và x sao cho
Thế vào (9) ta có :
Suy ra :
Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :
– số hạng dư Larange
Vì là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng:
Nghĩa là :
Công thức:
– gọi là công thức khai triển Taylor (Taylor expansion) của hàm số f(x).
Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:
là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư – được gọi là công thức khai triển Maclaurin (Maclaurin expansion).
Tóm lại, ta có định lý sau:
Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm liên tục tại điểm và có đạo hàm trong lân cận của thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:
(c ở giữa và x, )
Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận ):
thầy giúp em khai triển Maclaurin của căn bậc 3(sin(x^3)) với ạ. Cảm ơn thầy
ThíchThích
khai triển maclaurin ln(x^2 +1) ?
ThíchĐã thích bởi 1 người
Gửi thầy,
Em có chút ý kiến thế này, mong được thầy xem xét.
Nếu có thể, thầy thêm 1 phần nói về ứng dụng của các công thức toán học trong các ngành kỹ thuật như khoa học máy tính, điện tử viễn thông… Em nghĩ như vậy bài blog sẽ hấp dẫn hơn 🙂
ThíchThích
khai trien hàm sinx trong lân cận của pi/2 làm thế nào ạ
giúp em với ạ
ThíchThích
giải giúp mình câu này vs ạ, mình đag cần gấp. khai triển hàm sinx thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của pi/2
ThíchThích
thầy ơi, em đang học PP tính.
thầy giáo yêu cầu tụi em giải bài toán biểu diễn căn bậc n của 1 số thực ko âm bằng pp taylor
mà em tìm trên mạng thì lại ko thấy có tài liệu gì? thầy có thể giúp em được ko ạ?
ThíchThích
thưa thầy cho em hỏi khai triển hàm theo công thức taylor y=√x , x=1 thì làm thế nào?
ThíchThích
chào thầy!
thầy cho em hỏi là bài tập này giải như thế nào ạ?
Khai triển Taylor có điểm x0 =0, đến cấp 2n của biểu thức f(x) = 3x^2 + ln(1 +2x^2) ạ?? em cảm ơn thầy??
ThíchThích