Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:

1. e^x = \sum\limits_{k=0}^{n}{ \dfrac{x^k}{k!}}+ \dfrac{e^{{\theta}x}x^{n+1}}{(n+1)!} ; (0 \le \theta \le 1)

Thật vậy: ta có: f(x) = e^x ; f^{(k)}(x) = e^x ; \forall k = 1, 2, ....

Do đó: f(0) = 1 ; f^{(k)}(0) = 1; k = 1,2, ..., n

Nên:

e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + ... + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{e^{{\theta}x}}{(n+1)!}x^{n+1}

2. {\sin}x = x - { \dfrac{x^3}{3!}} + { \dfrac{x^5}{5!}} + ... + (-1)^{m-1}{ \dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}} + 0(x^{2m})

Ta có: f(x) = sinx \Rightarrow f(0) = 0

f'(x) = {\cos}x = {\sin}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f'(0) = 1

f''(x) = {\cos}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f''(0) = 0

f^{(3)}(x) = {\cos}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 3.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(3)}(0) = -1

f^{(4)}(x) = {\sin}\left( x + 4.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(4)}(0) = 0

Theo quy nạp ta có:

f^{(2m)}(x) = {\sin}\left( x +2m.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m)}(0) = sin(m{\pi}) = 0

f^{(2m+1)}(x) = {\sin}\left( x + (2m+1).\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m+1)}(0) = {\sin}\left( \dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = (-1)^m

Vậy:

sinx \approx x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - ... + (-1)^m\dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}

Sai số:

R_{2m+1}(x) = \dfrac{f^{(2m+2)}({\theta}x)}{(2m+2)!}x^{2m+2} = \dfrac{sin({\theta}x+(m+1){\pi})}{(2m+2)!}x^{2m+2} \le \dfrac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}

3. {\cos}x = 1 - { \dfrac{x^2}{2!}} + { \dfrac{x^4}{4!}} + ... + (-1)^{m}{ \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}} + 0(x^{2m+1})

Tương tự như hàm sinx, ta có: f^{(k)}(x) = {\cos} \left( x + k.\dfrac{\pi}{2} \right)

Ta có: f^{(2m-1)}(0) = {\cos}\left( -\dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = 0

f^{(2m)}(0) = {\cos}(m{\pi}) = (-1)^m

Vậy:

{\cos}x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} - ... + (-1)^m.\dfrac{x^{2m}}{(2m)!} + 0(x^{2m+1})

4. ln(1+x) = x - { \dfrac{x^2}{2}} + { \dfrac{x^3}{3}} - { \dfrac{x^4}{4}} + ... + (-1)^{n-1}{ \dfrac{x^n}{n}} + 0(x^n) (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)

Ta có:

f(x) = ln(1+x) \Rightarrow f(0) = ln(1) = 0

f'(x) = \dfrac{1}{1+x} \Rightarrow f'(0) = 1

f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2} \Rightarrow f''(0) = -1

f'''(x) = \dfrac{2(1+x)}{(1+x)^4} = \dfrac{2}{(1+x)^3} \Rightarrow f'''(0) = 2

f^{(4)}(x) = \dfrac{-2.3}{(1+x)^4} \Rightarrow f^{(4)}(0) = - 3!

f^{(5)}(x) = \dfrac{2.3.4}{(1+x)^5} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 4!

Từ đó ta có: f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}.\dfrac{(k-1)!}{(1+x)^k} \Rightarrow f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}.(k-1)!

Vậy:

ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + ... + (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} +0(x^k)

Sai số:

R_n(x) = \dfrac{f^{(k+1)}({\theta}x)}{(k+1)!}x^{k+1} =\dfrac{(-1)^k.k!}{(1+{\theta}x)^{k+1}.(k+1)!}.x^{k+1} = \dfrac{(-1)^k}{(1+{\theta}x)^{k+1}}.\dfrac{x^{k+1}}{k+1}

Ta nhận thấy, sai số sẽ rất lớn khi |x| \ge 1 . Do đó, ta chỉ xét x \in (-1;1)

5.\begin{array}{r}(1+x)^{\alpha} = 1 + {\alpha}x + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)}{2!}}x^2 + ... + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)...({\alpha}-n+1)}{n!}}x^n + \\ 0(x^n) \\ \end{array} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)

Trưởng hợp đặc biệt:

\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 +... + (-1)^nx^n + 0(x^n)

\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} -\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{5x^4}{128} + \dfrac{7x^5}{256} - \dfrac{21x^6}{1024} + ....

Nhận xét:

-Từ công thức khai triển của sinx, cosx, ln(1+x) , \dfrac{1}{1+x} ta nhận thấy nếu f(x) = P_n(x) + 0(x^n) \Rightarrow f'(x) = P_n^{'}(x) + 0(x^{n-1}) .

– Từ 5 công thức khai triển trên, ta thấy nếu đạo hàm có tính chất truy hồi thì ta mới có thể tính đạo hàm cấp k một cách dễ dàng. Trong trường hợp hàm bất kỳ việc tìm khai triển theo công thức tổng quát sẽ khá khó khăn.

– Trong thực hành, thay vì ta đi tính các đạo hàm để tìm công thức khai triển Taylor – Maclaurin, thì ta có thể đổi biến hoặc biến đổi biểu thức về các dạng trên, hoặc áp dụng các tính chất sau:

Nếu f(x) \approx P_n(x) ; g(x) \approx Q_n(x) thì:

f(x){\pm}g(x) \approx P_n(x){\pm}Q_n(x)

f(x).g(x) \approx P_n(x).Q_n(x)

f'(x) \approx P_n^{'}(x)

\int f(x) dx \approx \int P_n(x) dx

Thảo luận

191 thoughts on “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

  1. thầy giúp em khai triển Maclaurin của căn bậc 3(sin(x^3)) với ạ. Cảm ơn thầy

    Số lượt thích

    Posted by Hoang Anh | 01/10/2017, 23:01
  2. khai triển maclaurin ln(x^2 +1) ?

    Số lượt thích

    Posted by khanh | 14/12/2016, 18:06
  3. Gửi thầy,

    Em có chút ý kiến thế này, mong được thầy xem xét.
    Nếu có thể, thầy thêm 1 phần nói về ứng dụng của các công thức toán học trong các ngành kỹ thuật như khoa học máy tính, điện tử viễn thông… Em nghĩ như vậy bài blog sẽ hấp dẫn hơn 🙂

    Số lượt thích

    Posted by Dũng | 06/12/2015, 22:03
  4. khai trien hàm sinx trong lân cận của pi/2 làm thế nào ạ
    giúp em với ạ

    Số lượt thích

    Posted by phuongnhí | 19/01/2015, 21:51
  5. giải giúp mình câu này vs ạ, mình đag cần gấp. khai triển hàm sinx thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của pi/2

    Số lượt thích

    Posted by kmno4nh4no3 | 19/01/2015, 21:29
  6. thầy ơi, em đang học PP tính.
    thầy giáo yêu cầu tụi em giải bài toán biểu diễn căn bậc n của 1 số thực ko âm bằng pp taylor
    mà em tìm trên mạng thì lại ko thấy có tài liệu gì? thầy có thể giúp em được ko ạ?

    Số lượt thích

    Posted by Hảo Lưu | 05/12/2014, 21:03
  7. thưa thầy cho em hỏi khai triển hàm theo công thức taylor y=√x , x=1 thì làm thế nào?

    Số lượt thích

    Posted by Nguyễn Phương Thảo | 05/12/2014, 12:50
  8. chào thầy!
    thầy cho em hỏi là bài tập này giải như thế nào ạ?
    Khai triển Taylor có điểm x0 =0, đến cấp 2n của biểu thức f(x) = 3x^2 + ln(1 +2x^2) ạ?? em cảm ơn thầy??

    Số lượt thích

    Posted by Khánh | 01/12/2014, 20:30

Trả lời Nguyễn Phương Thảo Hủy trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 761 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: