Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

I. Các khái niệm cơ bản:

1. Định nghĩa hàm số 1 biến:

Cho $D \subset R$ Hàm số f từ tập hợp D vào R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị $x \in D$ với duy nhất 1 giá trị $y \in R$ . Ký hiệu

$\begin{array}{ccc} f: D \subset R & \to & R \\ x & \mapsto & y = f(x) \\ \end{array}$

– D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: $T = \{y \in R: y = f(x), \forall x \in D \}$

2. Đơn ánh:

– Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x $\in$ X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1).

Nghĩa là: $f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2$ ( $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Cho hàm số $y = f(x) , x \in D$

1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X.

4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$

5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

– Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: $\forall x \in D \Rightarrow -x \in X$

Ví dụ: $X = (-1;1) \ \{0\}$ là tập đối xứng qua 0.

Thật vậy: $\forall x \in X \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < -x < 1 \\ -x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow -x \in X$

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và $f(-x) = f(x), \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và $f(-x) = - f(x), \forall x \in D$

– Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

5. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: $f(x+T) = f(x) , \forall x \in D$ (*)

Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

6. Hàm số bị chặn:

– Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại $a \in R$ sao cho

$f(x) \ge a, \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại $b \in R$ sao cho

$f(x) \le b, \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại $M \in R$ sao cho

$|f(x) | \le M, \forall x \in D$

7. Hàm số hợp:

Cho ánh xạ $\begin{array}{rl} f: X & \to Y \\ x & \mapsto y = f(x) \\ \end{array}$ và $\begin{array}{rl} g: Y & \to Z \\ y & \mapsto z =g(y) \\ \end{array}$

Khi đó, nếu miền giá trị $T_f$ của f thuộc miền xác định $D_g$ của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: $g_of(x) = g(f(x))$

Ví dụ: $f(x) = sinx ; g(x) = \sqrt{x}$

Khi đó: $g_of(x) = g(f(x)) = g(sinx) = \sqrt{sinx}$

$f_og(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = sin(\sqrt{x})$

Nhận xét: $f_og \ne g_of$

8. Hàm số ngược:

a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: $g = f^{-1}$

– Để ảnh ngược $x = f^{-1}(y)$ là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x.

– Khi đó, xét hàm số $y = f^{-1}(x)$ thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm $y = f(x)$

Ví dụ: Ta có: $y = e^x \Rightarrow x = lny$ . Khi đó, hàm số $y = lnx$ là hàm ngược của hàm số $y = e^x$

– Ta có: $y = 2x^3 + 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{y-4}{2}}$ . Khi đó, hàm số $y = \sqrt[3]{\dfrac{x-4}{2}}$ là hàm ngược của hàm số $y = 2x^3 + 4$

b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là $f^{-1}$ nếu:

$f(g(x)) = x$ với mọi x thuộc miền xác định của g

$g(f(x)) = x$ với mọi x thuộc miền xác định của f

Lưu ý: $f^{-1}(x) \ne \dfrac{1}{f(x)}$

– Rõ ràng, $y = lnx$ là hàm ngược của $y = e^x$ vì: $e^{lnx} = x ; ln(e^x) = xlne = x$

c.Tính chất:

– Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g.

– Hàm ngược là một đơn ánh.

– Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược.

– Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất.

Ví dụ: Hàm $y = x^2$ không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược $x = \pm \sqrt{y}$ không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số $y = x^2 , x \ge 0$ là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là $x = \sqrt{y}$ nên hàm số $y = x^2, x \ge 0$ có hàm ngược $y = \sqrt{x}$

d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược $y = f^{-1}(x)$

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: $f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = a$ . Vậy $a = f^{-1}(b)$ Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số $y = f^{-1}(x)$

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và $x \in \left[- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right] ; y \in [-1;1]$

arcsinx Do đó hàm ngược của y = sinx là $y = arcsinx$ (y là cung mà sin bằng x)

Vậy: $y = arcsinx \Leftrightarrow x = siny$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arcsin(sinx) = x, - \dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$

– $sin(arcsinx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arcsin(-x) = -arcsinx$

Ví dụ:

Vd1. $A = sin \left( \dfrac{\pi}{12} + arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$

Ta có: $arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ (vì: $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $- \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ )

Do đó: $A = sin\left( \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vd2. $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right)$

Ta không thể kết luận $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = \dfrac{2{\pi}}{3}$

Do $\dfrac{2{\pi}}{3} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

Tuy vậy: $sin{\dfrac{2{\pi}}{3}} = sin\left(\pi - \dfrac{2{\pi}}{3} \right) = sin\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = arcsin\left(sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{{\pi}}{3}$

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn $0 \le x \le \pi$ thì hàm số y = cosx là hàm giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy $y = cosx, (0 \le x \le \pi ; -1 \le y \le 1) \Leftrightarrow x = arccosy$

arccosx Do đó hàm ngược của y = cosx là $y = arccosx$ (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy: $y = arccosx \Leftrightarrow x = cosy$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = [0; \pi]$

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arccos(cosx) = x, 0 \le x \le \pi$

– $cos(arccosx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arccos(-x) = \pi - arccosx$

Ví dụ:

Vd1. $B = arccos\left(cos\dfrac{4{\pi}}{3}\right)$

Ta có: $cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -cos\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $B = arccos\left(-cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \pi - arccos\left(cos\dfrac{\pi}{3} \right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

Vd2. $sin(arccos0.4)$

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , $0 \le y \le \pi$ .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y}$ (do $0 \le y \le \pi$ nên $siny \ge 0$ )

Vậy: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} = \sqrt{1-0.4^2} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định $-\infty < x < \infty$ và miền giá trị $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$

– $y = arctanx \Leftrightarrow x = tany, -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$

– $arctan(tanx) = x, -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$

– $tan(arctanx) = x, -\infty < x < \infty$

4. Hàm số y = arccotgx

Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định $-\infty < x < \infty$ và miền giá trị $0 < y < \pi$

– $y = arccotgx \Leftrightarrow x = cotgy, 0 < y < \pi$

– $arccotg(cotgx) = x, 0 < x < \pi$

– $cotg(arccotgx) = x, -\infty < x < \infty$

5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược:

– $arccosx + arcsinx = \dfrac{\pi}{2}$

– $arctanx + arccotgx = \dfrac{\pi}{2}$

– $arctanx = arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right), -\infty < x <\infty$

– $arcsinx = arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right), -1 \le x \le 1$

– $arctanx + arctany = arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), (xy < 1)$

6. Bài tập áp dụng:

1. $\sin\left(\dfrac{\pi}{12} + arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

2. $tan\left(arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

3. $arcsin\left(\dfrac{1}{2arccos0.5}\right)$

4. $tan\left(\dfrac{1}{2}arcsin\left(\dfrac{5}{13}\right)\right)$

5. $tan\left(arcsin\dfrac{1}{3}+arcsin\dfrac{1}{4}\right)$

6. $cos\left(2arctan\dfrac{1}{4} + arccos\dfrac{3}{5}\right)$

7. $sin\left(arctan\dfrac{x}{2}\right)$

8. $cos\left(2arccotg\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

Thảo luận

37 bình luận về “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol”

thầy ơi cho e hỏi hàm ngược của y=cosx tanx cotx là gì ạ?

ThíchThích

Posted by Kiên Koy | 11/10/2016, 09:56

Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Thảo luận

37 bình luận về “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thảo luận

37 bình luận về “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề