Chuỗi Fourier

1. Các kết quả:

Biểu thức Toán học:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx))} (1)

được gọi là chuỗi Fourier nếu (1) hội tụ.

1.1 Định nghĩa. Một đa thức Fourier là biểu thức có dạng:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx)).}

Các hệ số a0, ai và bi, i = 1,2,…, n, được gọi là hệ số của Fn(x).

Đa thức Fourier là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản ta có:

img6.gif

Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau:
(1) Với n ≥ 0, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)} \, dx = 0 và \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)} \, dx = 0

(2) Với mọi m , n ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(3) Với n ≠ m, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).cos(mx)} \, dx = 0 và \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(4) Với n ≥ 1, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx)} \, dx = \pi và \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(nx)} \, dx = \pi

Sử dụng các công thức trên, chúng ta có kết quả sau:

1.2 Định lý: Cho

F_n(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).}

Ta có:

img16.gif

Định lý trên giúp ta có thể tìm được hệ số Fourier của các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π.

2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Định nghĩa. Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π và khả tích trên đoạn [- π ; π]. Đặt:

img18.gif

Khi đó, chuỗi lượng giác:

a_0 + \sum {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

được gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) tương ứng. Ký hiệu:

F_n(x) \sim a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

Trang: 1 2

Thảo luận

29 bình luận về “Chuỗi Fourier”

  1. Thầy giúp e khai triển fourier f(x)=x^2 x=(0;pi) và f(x)=x(pi-x) x=(0-pi)

    Thích

    Posted by Minh Phạm | 03/07/2017, 18:25
    Reply to this comment

  2. Thầy giúp e 2 bài này với.
    Khai triển ham f(x) tuân hoàn chu ky 2pi thành chuỗi Florida.
    a. f(x)=sinax, -pi<x<pi, a#k
    b. f(x)=(pin-x)/2, 0<x<2.

    Thích

    Posted by Khoa | 27/01/2015, 10:54
    Reply to this comment

  3. khai triển chuỗi Furie của hàm F(x)=x^2 (-pi,pi)
    thầy giúp em bài này với! e cảm ơn thầy nhiều!!

    Thích

    Posted by bmthanh1181995 | 19/02/2014, 11:45
    Reply to this comment

  4. khai triển thành chuỗi fourier chu kì 2pi;
    f(x)=|X^3| trên [-pi;pi];
    thầy hướng dẫn em cách làm bai này với!!! thầy có thể vẽ đồ thị bài này cho em được ko ạ?? em cám ơn thây!!!

    Thích

    Posted by nho_pro | 23/05/2011, 22:03
    Reply to this comment

    • Em phá bỏ trị tuyệt đối, khi đó:
      f(x) = \left\{\begin{array}{cc} -x^3 & ; [-\pi;0] \\ x^3 & ; [0; \pi] \\ \end{array} \right.
      Sau đó, ráp công thức hàm f(x) vào công thức khai triển.
      Ngoài ra, nếu em chú ý đến tính chất chẵn, lẻ của hàm f(x) thì em sẽ có b_k = 0 , \forall k = 1, 2,..., n

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 26/05/2011, 22:27
      Reply to this comment

  5. E cảm ơn bài giảng của thầy. Nhờ nó mà e đã hiểu!!!!! Cảm ơn thầy rất nhiều!

    Thích

    Posted by nguyen thi anh tuyet | 13/01/2011, 11:17
    Reply to this comment

  6. Hello Sir,

    Thanks for uploading the Fourier Problem set.
    I was going through the problem set – thunhan.files.wordpress.com/2007/10/problemsfourier.pdf.

    In the following problem Problem 1 (g) I think the asnwer is 2*pi.

    Here is my understanding.

    x(t) = 5*Cos(3*x) + 2*Cos(2*x)
    Fundamental Period of 5*Cos(3*x) is T1 = 2*pi/3.
    Fundamental Period of 2*Cos(2*x) is T2 = pi

    Hence the Fundamental Period of x(t) is LCM (T1, T2) = T1*m = T2*k.
    where m and k are smallest possible integers so as to make LCM a integer.

    (2*pi/3)*m = pi*k

    Hence m is 3 and k is 2.

    LCM is 2*pi.

    Logically also period of 3 fundamental wave of 1st wave = period of 2 fundamentel wave of 2nd wave.

    —
    – Harish
    Be exhilarated forever

    Thích

    Posted by harish kalghatgi | 04/09/2010, 10:38
    Reply to this comment

  7. Thầy ơi, nếu khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier trên (0, 2Pi) thì em phải làm thế nào ạ?

    Thích

    Posted by Anh Tran | 02/11/2009, 18:13
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 786 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…