Chuỗi Fourier Sine và Cosine

Khai triển Fourier của hàm số trên nửa đoạn [0; π]

Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0; π] ta có thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn {[- \pi ; \pi ]} , rồi sử dụng công thức đã có ở phần khai triển Fourier cho hàm số trên đoạn {[- \pi ; \pi ]} .

Thông thường có 3 cách thác triển:

1. Thác triển chẵn: (khai triển thành chuỗi Fourier cosin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

2. Thác triển lẻ: (khai triển thành chuỗi Fourier sin)

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ - f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

3. Thác triển tự do:

g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Khi đó, khai triển Fourier của hàm số g(x) trên đoạn [0 ; π ] chính là khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; π ]

Ví dụ: Tìm khai triển Fourier và khai triển Fourier theo các hàm số cosin, sin của hàm số f(x) = 1 , 0 \le x \le \pi

1. Thác triển Fourier thông thường:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} ) = { \dfrac{1}{2}}

a_{n} = { \frac{1}{\pi}} { \int_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.cos(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.sin(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n} - 1}{n}} \Big ) .

Vậy:

a_{0} = { \dfrac{1}{2}} , a_{n} = 0 , b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim { \dfrac{1}{2}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{ \dfrac{2}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)}

2. Thác triển Fourier cosin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 1

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} \Big ) = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) = 0 , \forall n \ge 1

Vậy: a_{0} = 1 , a_{n} = 0 , b_{n} = 0

Nên khai triển Fourier cosin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim 1

3. Thác triển Fourier sin:

Xét hàm số : g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ -1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.

Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} -1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 0

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = 0, \forall n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}}{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}}{ \int\limits_{0}^{\pi} sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} \\ \qquad = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n}}{n}} + { \dfrac{1^{n}}{n}} \Big )

Vậy: a_{n} = 0 , \forall n ; b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{4}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}

Nên khai triển Fourier sin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{4}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)

pic06.gif

Thảo luận

9 bình luận về “Chuỗi Fourier Sine và Cosine”

  1. Thầy giúp e kh triển fourier của f(x)=x^2 trên khoảng (0;π) vs. Thanks thầy.

    Thích

    Posted by Minh pham | 04/07/2017, 11:02
    Reply to this comment

  2. Thưa thầy ,cách dùng công thức cho một hàm chẵn va một hàm lẻ là hoàn toàn khacs nhau phải không thầy

    Thích

    Posted by trần thị thu sương | 28/02/2012, 09:05
    Reply to this comment

  3. thanks! e đang gặp khó khăn trong bài giải giờ đọc bài này e hiểu rất nhiều. cám ơn thầy!

    Thích

    Posted by choat | 18/06/2010, 10:28
    Reply to this comment

  4. thua thay!co phai khai trien theo sin la khong phai tinh he so a0.phai khong a?

    Thích

    Posted by gf | 08/06/2010, 20:21
    Reply to this comment

  5. Em chào thầy! Thầy ơi, em muốn hỏi thầy một bài khai triển Fourier nhưng em không biết làm sao để đánh công thức ở đây. Thầy chỉ cho em cách làm được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều.

    Thích

    Posted by Anh Tran | 02/11/2009, 17:37
    Reply to this comment

  6. Em chào thầy! Thầy cho em hỏi về tích phân Fourier, em tìm tài liệu trên mạng và trong sách thì thấy có 2 dạng công thức (link: http://vi.wikipedia.org và http://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/10/ch8.pdf ) nhưng em thấy hai công thức này không trùng với nhau ( không biết em có hiểu sai không)?
    Tìm chuỗi và tích phân Fourier có phải là biến đổi Fourier rời rạc và liên tục không thầy?
    Học trò cũ :))

    Thích

    Posted by mh | 20/09/2009, 23:52
    Reply to this comment

  7. Thưa thầy sao trong blog của em ,em đã chọn chế độ reading summary nhưng sao khi post bài nó cứ hiện full text dzậy thầy .

    Thích

    Posted by huynhchidung | 22/08/2008, 12:07
    Reply to this comment

    • Chế độ reading summary chỉ có hiệu lực khi em click vào 1 category bất kỳ. Khi đó nó mới hiện các bài viết trong mục đó dưới dạng summary.

      Còn trang home, nếu em chọn chế độ Show new post thì nó vẫn hiện toàn bộ bài viết. Nếu em muốn ngắt trang bài viết để người đọc muốn theo dõi tiếp phải nhấn readmore thì trong quá trình soạn thảo bài viết, em đặt con trỏ ở đầu đoạn cần ngắt rồi nhấn vào nút Insert More Tags (nút hình trang giấy bị đứt đôi có đoạn kẻ nét đứt ở giữa), hoặc trong thẻ HTML em đặt đoạn code ở đầu đoạn cần ngắt.

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 22/08/2008, 13:06
      Reply to this comment

  8. Your blog is interesting!

    Keep up the good work!

    Thích

    Posted by Alex | 17/08/2008, 11:13
    Reply to this comment

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…