Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-2E

1. Các khái niệm

1.1 Định nghĩa 1:

Cho dãy số thực vô hạn u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ...

Các số u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ... được gọi là số hạng của chuỗi, u_{n} được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi.

Một dãy là được cho nếu biết quy luật tính số hạng tổng quát thứ n của nó.

1.2 Định nghĩa 2:

Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi (sequence of partial sum): S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = {\sum\limits_{i=1}^{n}u_i} .

Nếu \lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = S hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ (convergent).

Nếu \lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = {\pm}{\infty} hoặc không tồn tại ta nói chuỗi phân kỳ (divergent)

Thí dụ 1.2.1:

Xét chuỗi cấp số nhân: \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n (geometric series)

Ta có: S_{n} = 1 + q + ... + q^n

Nếu q =1 ta có: S_{n} = n \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} S_n = + \infty

Vậy chuỗi phân kỳ.

Nếu q ≠ 1 ta có:

S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k = { \dfrac{q^{n}}{q-1}} - { \dfrac{1}{q-1}}

Ta tìm: \lim\limits_{n \to \infty}S_n

Nếu |q| < 1 thì S_{n} \underset{n \to \infty}{\rightarrow} \dfrac{1}{1- q}, do đó chuỗi hội tụ và có tổng bằng \dfrac{1}{1- q}

Nếu q> 1 thì S_{n} không có giới hạn hữu hạn, do đó chuỗi phân kỳ.

Nếu q = -1 thì S_{n} = 1-1+1-1+... do đó S_{n} = \left \{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.

Vậy S_{n} không có giới hạn và chuỗi đã cho phân kỳ.

Như vậy, cấp số nhân với số hạng đầu khác không hội tụ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Serie geomètrica de cercles

Image via Wikipedia

Thí dụ 1.2.2:

Cho q = 1/3 ta được:

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{3}{2} (do q = \dfrac{1}{3} \langle 1 )

Cho q = -1/4 ta được:

\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{-1}{4}\right)^n = \dfrac{4}{5} (do |q| = \dfrac{1}{4} \langle 1 )

Thí dụ 1.2.3:

Tìm tổng của chuỗi: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}

Lập tổng S_{n} ta có:

Phân tích số hạng thứ n ta có:

\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}

Do đó: S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} = \left(1-\dfrac{1}{2}\right) +\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) + \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)

Hay: S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}

Dễ dàng thấy tổng Sn hội tụ về 1 nên chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 1

Thí dụ 1.2.4:

Tìm tổng của chuỗi: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}

Dự đoán: Sử dụng Maple vẽ tổng của S_{n} với n = 10.000 ta có:

>>plot(Sn, 1 .. 10000);

chuoi-so-1.jpg

Dựa vào đồ thị của Sn ta thấy đường cong luôn tiệm cận với 0.25. Suy ra, ta có thể dự đoán chuỗi số này hội tụ đến 1/4.

Dựa vào dự đoán trên ta sẽ chứng minh chuỗi trên hội tụ và có tổng bằng \dfrac{1}{4}

Phân tích số hạng thứ n thành thừa số. Ta có:

u_n = \dfrac{1}{2n} - { \dfrac{1}{n+1}} + { \dfrac{1}{2(n+2)}}

Khi đó, tổng Sn sẽ là: - { \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}} + { \dfrac{1}{4}} .

Rõ ràng, qua giới hạn, Sn hội tụ về 1/4. Vậy chuỗi đã cho hội tụ tổng của chuỗi bằng 1/4

Nhận xét:

Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng phần thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các thừa số có tính chất truy hồi.

Trang: 1 2 3

Thảo luận

70 bình luận về “Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)”

  1. thầy ơi cho em hỏi bài này làm thế nào: tính tổng chuỗi S(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n \dfrac{\cos nx}{n^2-1}.

    Thích

    Posted by iminhhoang | 21/06/2015, 12:09
    Reply to this comment

  2. cho em hoi phan chung minh cua dinh ly gia tri trung binh mo rong?

    Thích

    Posted by phiho | 26/11/2011, 14:38
    Reply to this comment

  3. Thầy ơi cho em hỏi tại sao khi khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số có dấu tùy ý người ta thường dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert vậy?

    Thích

    Posted by Phạm Nguyễn Chí Cường | 25/11/2011, 21:29
    Reply to this comment

  4. thầy ơi, em không hiểu làm sao mà từ Un = 1/2n – 1/n+1 + 1/2(n+2) => Sn = -1/2(n+1)(n+2) + 1/4

    Thích

    Posted by plth | 15/11/2011, 08:30
    Reply to this comment

  5. Thầy làm ơn cho hỏi, tổng diện tích của 1 hình fractal được vẽ bằng đường cong Kock có là vô cực ko?

    Thích

    Posted by Vương Vũ | 26/09/2011, 12:37
    Reply to this comment

  6. Thầy ơi, thầy giải giùm em 2 bài này với,thank thầy nhiều.
    1.Cmr: 1 +1/2^3 +1/3^3 +…+1/n^3 +…= 4/3( 1/1^3 -1/2^3 + 1/3^3 -1/4^3 +…)
    2.Sum (cosa/n)^(n^3) (a thuộc R).Xét sự hội tụ.

    Thích

    Posted by Long | 06/04/2011, 16:35
    Reply to this comment

  7. thầy ơi cho con hỏi cách tìm công thức của số hạng thứ n? tìm như thế nào vậy thầy. nếu cho chuỗi 2/1+3/4+4/9+5/16+… mình tìm sao thầy. Con bị mất căn bản phần này rồi thầy chỉ con với.cám ơn thầy

    Thích

    Posted by tuyet | 13/02/2011, 16:55
    Reply to this comment

    • Để tìm công thức của số hạng thứ n, em cần chú ý tìm quy luật thay đổi của các số hạng: giữa số thứ 2 với số thứ 1, số thứ 3 với số thứ 2,…
      Ta có: a1 = 2/1 ; a2 = 3/4 ; a3 = 4/9 ; a4 = 5/16
      Các số này có tử tăng dần (2,3,4,5) . Mẫu số là 1, 4, 9, 16 là những số chính phương. 1 = 1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2
      Vậy a1 = 2/(1^2) ; a2 = 3/(2^2) ; a3 = 4/(3^2) ; a4 = 5/(4^2).
      Vậy nếu tiếp tục thì a5 = 6/(5^2); a6 = 7/(6^2); … an = (n+1)/(n^2).

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 14/02/2011, 19:06
      Reply to this comment

  8. Em thưa thầy, làm thế nào để tính tổng của một chuỗi hàm luỹ thừa ạ ?

    Thích

    Posted by cashy | 06/01/2011, 19:33
    Reply to this comment

  9. Thưa thầy, thầy có thể gợi ý cho em bài sau được không ạ?
    Xét sự hội tụ của chuỗi số:
    sum sin(pi*(2+sqrt3)^n), n = 1..infinity.
    em xin cảm ơn thầy!

    Thích

    Posted by Nguyễn Thái Hoàng | 27/05/2010, 21:19
    Reply to this comment

  10. thầy ơi, em muốn hỏi là: Tại sao khi nghiên cứu về chuỗi số người ta chỉ nghiên cứu tính hội tụ hay phân kì của nó mà không quan tâm đến tổng của chuỗi bằng bao nhiêu vậy a.

    Thích

    Posted by TM | 26/04/2010, 11:05
    Reply to this comment

    • Không phải là không quan tâm đến chuỗi, mà vì không phải chuỗi nào cũng có thể lập được tổng riêng phần Sn để tìm tổng của chuỗi. Do đó, trước tiên, khi làm việc với chuỗi, người ta quan tâm xem chuỗi đó có hội tụ không? Nếu phân kỳ thì khỏi phải tìm tổng cho mất công, còn nếu chuỗi hội tụ thì người ta sẽ tìm cách khác để tính tổng của chuỗi (thông qua chuỗi hàm, chuỗi Fourier,…. )

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 26/04/2010, 18:42
      Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Gửi phản hồi cho tuyet Hủy trả lời

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…