Ma trận bậc thang (Echelon matrix)

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: d_i \rightarrow a.d_i thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: d_i \rightarrow d_i + a.d_j

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: d_i \leftrightarrow d_j

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: c_i \rightarrow a.c_i

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: c_i \rightarrow c_i + a.c_j

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: c_i \leftrightarrow c_j

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma tr�n b�c thang dòng

Ma trận bậc thang dòng

Ma tr�n b�c thang cột

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4 ta có:

\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

Thảo luận

52 thoughts on “Ma trận bậc thang (Echelon matrix)

  1. Em nghĩ: đặc điểm 3.2 không diễn đạt rõ, và như thầy nói, em hiểu mình phải hiểu ngầm ý “nếu không có thì không bắt buộc”, tức là nếu không có ít nhất 2 dòng khác 0 thì cũng thỏa. Trong khi đặc điểm 3.1 nói rất rõ: “hoặc …, hoặc…”. Do đó, theo em, có thể định nghĩa ma trận bậc thang dòng một cách rõ ràng như sau:
    Một ma trận A khác 0, cấp mxn (m,n>=2) được gọi là có dạng bậc thang dòng, nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
    (i) Hoặc các dòng của A đều khác 0, hoặc nếu A có dòng 0, thì mọi dòng 0 luôn nằm dưới mọi dòng khác 0.
    (ii) Hoặc A chỉ có một dòng khác 0, hoặc nếu A có ít nhất hai dòng khác 0, thì đối với 2 dòng khác 0 bất kỳ, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải so với phần tử chính của dòng trên (so sánh theo cột).
    CÁM ƠN THẦY RẤT NHIỀU!!!

    Số lượt thích

    Posted by LOVEMATH | 11/09/2011, 22:57
    • Không phải hiểu ngầm ý mà bản chất cấu trúc của mệnh đề: “nếu … thì …” là nó vậy rồi em à.
      Ví dụ: “Nếu chiều mai trời không mưa thì tôi đi xem phim”. Nghĩa là, chiều mai trời không mưa thì bắt buộc tôi phải đi … xem phim. Còn trời mưa thì làm gì? Không cần quan tâm.
      Việc em định nghĩa lại 3.2 cũng được, không sao, nhưng khá rối và phải nhớ thêm. Còn (3.1), đúng là có thể chỉnh lại cho ngắn gọn mà vẫn đủ ý.
      (3.1) “Mọi dòng không (nếu có) của ma trận A luôn nằm dưới mọi dòng khác không”.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 11/09/2011, 23:28
      • Em mới đọc lại định nghĩa trên – ma trận bậc thang dòng, cũng như phần comment liên quan của thầy, và của em. Từ đó, em đề xuất định nghĩa mới mà nghĩ là ngắn gọn và dễ hiểu:
        Một ma trận A khác 0, cấp mxn (m,n>=2) được gọi là có dạng bậc thang dòng, nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
        (i) Nếu A có dòng 0, thì mọi dòng 0 luôn nằm phía dưới mọi dòng khác 0.
        (ii) Nếu A có hai dòng khác 0, thì đối với 2 dòng khác 0 bất kỳ, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên.
        Định nghĩa gửi tặng thầy :D. Chúc thầy và gia đình vui khỏe!

        Số lượt thích

        Posted by LOVEMATH | 26/09/2011, 23:51
  2. Với định nghĩa row-echelon matrix như trên, em nghĩ có vấn đề, vì đặc điểm 3.2 “Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.” không bao quát hết khả năng đối với một ma trận, cũng như không chỉ rõ điều kiện để “loại bỏ”, do dạng phát biểu “Nếu … thì…”. Hay ma trận M_mxn (m,n>=2) chỉ có một dòng khác không thì xem xét như thế nào để kết luận nó thỏa hay ko thỏa 3.2 mặc dù nó thỏa 3.1? Như ma trận
    1 & 1
    0 & 0
    chẳng hạn?

    Số lượt thích

    Posted by LOVEMATH | 10/09/2011, 12:52
    • Em xem kỹ lại nhé. Đặc điểm 3.2 nói rõ nếu ma trận A có ít nhất 2 dòng khác không thì phải thỏa … , nghĩa là nếu có thì phải thỏa, nếu không có thì không bắt buộc.
      Em chú ý mệnh đề “nếu A thì B”, mệnh đề phủ định là “Nếu không B thì không A”. Em đã nhầm lẫn trong cách hiểu mệnh đề “nếu A thì B” (không thể phủ định thành “nếu không A thì không B” được).
      Như vậy, ma trận của em chỉ có duy nhất dòng 1 khác không, còn các dòng phía dưới đều là dòng không thì không rơi vào trường hợp bắt buộc của 3.2 chứ không phải không thỏa 3.2. Ở đây, ma trận mà em minh chứng cũng là ma trận bậc thang dòng.
      Như vậy, đặc điểm 3.1, 3.2 là đầy đủ, nghĩa là, nếu ma trận không thỏa mãn 31 và 3.2 thì sẽ không là ma trận bậc thang dòng. Đặc điểm này đã bao quát hết mọi trường hợp.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 10/09/2011, 22:46
  3. Trong trường hợp nào có thể nhân bên phải một ma trận dòng với 1 ma trận cột vậy ạ?

    Số lượt thích

    Posted by thu yen | 19/12/2010, 19:42
    • Em xem phần định nghĩa phép nhân 2 ma trận nhé.
      Cho A là ma trận cấp mxn thì:
      – Ma trận tích A.B tồn tại khi B có cấp nxp. Nghĩa là A có n cột thì B phải có n dòng
      – Ma trận tích C.A tồn tại khi C có cấp qxm. Nghĩa là số cột của C phải bằng số dòng của A.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 20/12/2010, 14:41
  4. giup em giai bai nay voi thay oi!tim hang cua ma tran sau:
    a 1 1 1
    1 a 1 1
    1 1 a 1
    1 1 1 a
    em cam on thay nhieu!

    Số lượt thích

    Posted by thaonguyenxanh | 05/11/2010, 16:27
  5. Khó quá.

    Số lượt thích

    Posted by thanh | 24/10/2010, 16:18
  6. Em chào thầy!
    Thầy cho một ví dụ và giải một bài toán về tìm ma trận có chứa tham số.Em vẫn chưa hiểu về ma trận có chứa tham số.

    Số lượt thích

    Posted by nguyễn văn mão | 18/09/2010, 20:45
  7. Thầy ơi, tính hạng bằng phép biến đổi sơ cập là như thế nào, thầy làm 1 bài minh họa chi tiết dùm em, e cẳm ơn thầy

    Số lượt thích

    Posted by happylife | 06/11/2009, 11:37
  8. Hạng của ma trận được ứng dụng để giải bài toán nào vậy thầy, thầy có thể cho em ví dụ được không?

    Số lượt thích

    Posted by thephuong | 01/11/2009, 20:28
  9. thầy ơi, em đang tìm các ứng dụng hạng của ma trận mà ko có.

    Số lượt thích

    Posted by thephuong | 01/11/2009, 20:27
  10. Em muốn tìm các ứng dụng của ma trận nhưng sao không thấy

    Số lượt thích

    Posted by Hanh Uyen | 30/10/2009, 22:28
  11. thầy ơi cho em hỏi tại sao tính định thức (bậc lớn hơn 3) thì khi dùng các phép biến đổi (vd như đổi chỗ hai dòng thì phải đổi dấu cho định thức) còn khi biến đổi ma trận thành dạng ma trận bậc thang khi đổi chỗ hai dòng lại không cần đổi dấu.
    EM CẢM ƠN THẦY

    Số lượt thích

    Posted by ngoc ha | 26/10/2009, 16:12
    • Khi đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu là đó là kết quả được suy từ định nghĩa của định thức. Còn khi biến đổi ma trận thì đó là hai ma trận tương đương nhau về tính chất chứ không bằng nhau.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 26/10/2009, 20:19
  12. thầy ơi ,cho em hoi 1 ma trân có mấy dạng bậc thang ạh,co thể nhiều không.nếu nhiều thi hạng của 1 ma trận se khac nhau tùy cách biến đổi hả thầy

    Số lượt thích

    Posted by dac | 05/10/2009, 08:34
    • Dạng bậc thang là duy nhất em à, chỉ có điều nếu dùng các pbdsc khác nhau thì các phần tử của ma trận bậc thang có thể khác nhau, nhưng nếu đưa về dạng bậc thang chính tắc thì đều như nhau. Vì vậy, hạng của ma trận sẽ là duy nhất, không phụ thuộc vào cách biến đổi.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 05/10/2009, 09:07

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 770 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: