Ma trận bậc thang (Echelon matrix)

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: d_i \rightarrow a.d_i thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: d_i \rightarrow d_i + a.d_j

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: d_i \leftrightarrow d_j

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: c_i \rightarrow a.c_i

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: c_i \rightarrow c_i + a.c_j

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: c_i \leftrightarrow c_j

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma tr�n b�c thang dòng

Ma trận bậc thang dòng

Ma tr�n b�c thang cột

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4 ta có:

\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

Thảo luận

52 bình luận về “Ma trận bậc thang (Echelon matrix)”

  1. Cho e hỏi tại sao ma trận này cũng đc coi là ma trận bậc thang

    [ 1 3 5 ]
    [ 0 6 2 ]
    [ 0 0 7 ]

    Thích

    Posted by Trường Giang | 02/10/2016, 15:23
    Reply to this comment

  2. Ma trận này chưa phải ma trận bậc thang (dòng) em à. Ma trận bậc thang dòng phải thỏa điều kiện phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới phải nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên. Ở đây phần tử a_{21} = 4 nằm ngay dưới a_{11} nên không thỏa.

    Thích

    Posted by 2Bo02B | 11/01/2016, 10:39
    Reply to this comment

  3. Cần đưa thêm nhiều ví dụ phong phú để chứng minh tầm quan trọng của ma trận bậc thang

    Thích

    Posted by chungvi | 20/01/2015, 17:15
    Reply to this comment

  4. 2 3 1 -2
    5 3 2 0
    4 3 2 2
    -1 3 3 2
    cho e hoi dung phep bien doi so cap dong de dua ma tran tren ve dang bac thang lam sao thua thay e moi hoc ve ma tran nhung k hieu gi het mong thay giup e

    Thích

    Posted by YuPj Nguyen | 24/10/2012, 13:53
    Reply to this comment

  5. ma tran nhu the nay co phai ma tran bac thang khong thua thay:
    1 2 3 5
    0 0 0 0
    0 0 0 0

    Thích

    Posted by hieu | 21/03/2012, 17:44
    Reply to this comment

  6. “…thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4”??? Phần tử ở vế đầu là số 1 dòng 5. Nó nằm về phía bên phải của cột thứ 4(chứa ptử 1 ở vế thứ 2) rồi mà cô???

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by Bach | 16/10/2011, 16:28
    Reply to this comment

  7. Em có vài ý về định nghĩa ma trận bậc thang như trên:
    1. Định nghĩa này có nhiều điểm giống với định nghĩa ở trang 41 trong sách Toán cao cấp tập 2 (nhóm tác giả: Nguyễn Viết Đông,.., tái bản lần 3), nhưng khác ít nhất một chỗ: sách ghi là “có đặc điểm sau”, còn ở đây để là “có CÁC đặc điểm sau”. Khác nhau ở từ “CÁC” này có thể làm cho sinh viên dễ nhầm là ma trận này phải có 2 đặc điểm: (1) dòng 0 ở dưới dòng khác 0, (2) “chính dưới bên phải chính trên”. Nếu có ma trận chỉ có đặc điểm (1) mà không có (2) thì rất có thể họ cho là không phải ma trận bậc thang.
    2. Em nghĩ định nghĩa sau sẽ đơn giản với nhiều sinh viên: MỘT MA TRẬN A KHÁC MA TRẬN O, CẤP m,n>=2 ĐƯỢC GỌI LÀ MTBT NẾU NÓ CÓ ĐẶC ĐIỂM SAU: NẾU A CÓ DÒNG 0 THÌ MỌI DÒNG O PHẢI NẰM DƯỚI MỌI DÒNG KHÁC 0; CÒN NẾU A CÓ HAI DÒNG KHÁC 0 THÌ ĐỐI VỚI 2 DÒNG KHÁC O BẤT KÝ, “CHÍNH DƯỚI NẰM BÊN PHẢI 9 TRÊN”
    Vài dòng gửi đến thầy. Chúc thầy vui khỏe!

    Thích

    Posted by lamxinh | 14/10/2011, 12:23
    Reply to this comment

    • Ma trận bậc thang dòng phải có thỏa mãn cả 2 đặc điểm trên, nếu chỉ thỏa mãn đặc điểm 1 mà không thỏa đk (2) thì k thể là ma trận bậc thang được em à.
      Ví dụ:
      \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] không là ma trận bậc thang.
      Định nghĩa của em cũng chính là gộp cả 2 điều kiện trên thành 1 với cấu trúc “If … then …. else if … then …. endif”. Tuy vậy, với định nghĩa của em chỉ đúng cho ma trận bậc thang dòng chứ không đúng cho ma trận bậc thang.
      Em có thể tham khảo thêm một số định nghĩa khác về ma trận bậc thang (echelon matrix) sau:
      1. (wikipeadia) In linear algebra a matrix is in row echelon form if
      – All nonzero rows (rows with at least one nonzero element) are above any rows of all zeroes, and
      – The leading coefficient (the first nonzero number from the left, also called the pivot) of a nonzero row is always strictly to the right of the leading coefficient of the row above it.
      2. (Wolfram Mathwork) A matrix that has undergone Gaussian elimination is said to be in row echelon form or, more properly, “reduced echelon form” or “row-reduced echelon form.” Such a matrix has the following characteristics:
      1. All zero rows are at the bottom of the matrix.
      2. The leading entry of each nonzero row after the first occurs to the right of the leading entry of the previous row.
      3. (David A.Santos, Linear Algebra, Community College of Philadelphia: SPRING 2004): A Maitrx M \in M_{mxn} (F) is a row-echelon matrix if:
      1. All the zero rows of M, if any, are at the bottom of M.
      2. For any two consecutive rows R_i and R_{i+1} , either R_{i+1} is all 0_F‘s F or the pivot (the first non-zero entry of the row) of R_{i+1} is immediately to the right of the pivot of R_i
      Chúc em vui .

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 14/10/2011, 21:14
      Reply to this comment

  8. thầy ơi, trả lời dùm em: cmr có thể dùng các phép biến đổi đơn thuần như trên, ta có thể đưa 1 ma trận A tùy ý về ma trận bậc thang

    Thích

    Posted by cu bin | 18/09/2011, 09:21
    Reply to this comment

  9. thầy ơi em đang học đại số tuyến tính, em muốn hỏi, khi cho 1 ma trận thì làm sao để biết đó là ma trận hình thang, có phải là các số không cứ nằm dưới đường chéo chính thì là hình thang không ạ, và ví dụ như ma trận
    1 2 3 4 5 6
    0 2 6 8 9 3
    0 0 4 5 6 7
    0 0 0 0 2 0
    có là ma trận hình thang không ạ, và hạng của nó như thế nào ạ.
    em học trên lớp thì hạng của ma trận sẽ là những dòng chứa phần tử khác không.như vậy thì mt trên là hạng 4 vì dòng cuối vẫn có phần tử khác không? nhưng sao đáp án chỉ là hạng 3 ạ ???

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by kun mom | 14/09/2011, 21:02
    Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…