Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số x_1, x_2, x_3, ... , x_n có dạng:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)

trong đó: a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C) ; a_{ij} – hệ số (của ẩn) ; b_i – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right] ; X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right] ; B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận \overline{A} = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu b_i = 0, \forall i = \overline{1;m} . Ta có: AX = 0_{mx1}

Hay: \left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solutionx_1=x_2={\ldots}=x_n=0 ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình \left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right. \left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right. là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x_1 = 1 ; x_2 = 0

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA \ne 0 )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có detA \ne 0 nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo A^{-1} . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho A^{-1} ta có:

A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n} (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do j = \overline{1;n}

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A (trong đó P_A là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B (*)

Bây giờ, ta xét: P_A.B . Ta có:

P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right] (**)

Từ (*) , (**) ta có:

\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]

Hay: x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}

Ta đặt: D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n} (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– Nếu D \ne 0  thì hệ có nghiệm duy nhất.

– Nếu D = 0  và tồn tại D_j \ne 0  thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

– Nếu D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n} thì x_j có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Advertisements

Thảo luận

25 thoughts on “Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)

  1. mấy anh chị ơi! Giải giúp e hệ phương trình này với
    3×1 + 2×2 – 3×3 + x4 = -3
    x1 – 3×2 + 4×3 – 2×4 = 1
    2×1 + x2 – 2×3 + 3×4 = 2

    giải giúp e với… e cảm on mấy anh nhiều!^^

    Số lượt thích

    Posted by huynh anh kiet | 17/09/2011, 17:50
  2. đề bài của em là:
    tìm k để hệ sau có nghiệm
    X1+ 2X2+ X3+ 3X4= 4
    2X1+ 3X2+ 2X3 +X4= 2
    -X1+ 3X2+ 2X3+ kX4= 3
    thầy giúp em vs ạ

    Số lượt thích

    Posted by ngọc | 23/02/2011, 10:20
    • Để hệ có nghiệm thì hạng ma trận hệ số bằng hạng ma trận bổ sung.
      Vậy em định k để hạng 2 ma trận đó bằng nhau.
      Muốn vậy, em lập ma trận bổ sung rồi dùng phép biến đổi sơ cấp để chuyển nó về dạng bậc thang dòng rồi biện luận hạng theo k.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 02/03/2011, 00:11
    • mình làm thì hệ trên luôn có nghiệm với mọi k. Bạn biến đổi về ma trận bậc thang sau đó biện luận theo định lí Kronecker-Capelli

      Số lượt thích

      Posted by quý | 06/11/2014, 22:36
  3. Nếu det A = 0 thì sao ạ?

    Số lượt thích

    Posted by trang | 10/02/2011, 20:48
  4. E có bài toán này giải ra thì dòng đầu là: (1 -1 1 -4 |-2)
    Dòng 2 – 3 – 4 đều bằng nhau: (0 5 -8 16 |9)
    Vậy phải làm sao ạh. Đề là:
    4x+y-4z=1
    3x+2y-5z+4t=3
    -x+6y-9z+20t=11
    2x+3y-6z+8t=5

    Số lượt thích

    Posted by Peter Minh | 05/01/2011, 19:01
    • Trước tiên, em biến đổi đã chính xác. Như vậy, hạng ma trận hệ số bằng hạng ma trận hệ số mở rộng và bằng 2. Nên hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do (4 (số ẩn) – 2 (hạng của ma trận hệ số)).
      Do ma trận bậc thang, có 2 phần tử cơ sở (phần tử khác không đầu tiên của dòng 1 và dòng 2) ở 2 cột: cột 1 và cột 2 nên biến x và biến y là 2 ẩn chính và còn lại z, t là 2 ẩn tự do (tham số).

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 05/01/2011, 22:51
  5. thây ơi em hỏi ạ:Tìm điều kiện tham số m để hpt vô nghiệm?có nghiệm duy nhất?có vô số nghiệm

    Số lượt thích

    Posted by phuonghong | 19/08/2010, 21:09
  6. ai giải thích hộ mình tại sao : hạng A=hạng A bổ sung=số ẩn cua phương trình thì hệ có nghiệm duy nhất

    Số lượt thích

    Posted by nhu ngoc | 14/04/2010, 21:18
  7. giai gip em bai toan nay voi

    giai he phuong trinh:
    2×1+x2-x3+x4=1
    3×1-2×2+2×3-3×4=2
    x1+x2-x3-2×4=-1
    2×1-x2+x3-3×4=4

    Số lượt thích

    Posted by Nguyen thi Lien | 21/01/2010, 16:40
  8. Thầy ơi sao em tải về hay xem đều không được ạ

    Số lượt thích

    Posted by Thảo Thanh Hoá | 03/12/2009, 22:27
  9. Em hỏi.
    em hiểu thế này ạ ko biết đúng ko:
    Hệ n phương trình n ẩn số. A.x =b
    là 1 hệ vuông :
    Nếu số hạng tự do = 0 hết là hệ thuần nhất .
    Nếu có dạng tam giác còn gọi là hệ tam giác.
    nếu det(A) # 0 thì là hệ cramer. TRong Th hệ cramer có b= o hết thì cũng gọi là hệ thuần nhất phải ko ạ. Nó đan xen nhau kinh quá>>????????????

    Số lượt thích

    Posted by MM | 07/11/2009, 09:13
  10. tôi muốn có thêm nhiều ví dụ hơn nữa! thanks nhiều

    Số lượt thích

    Posted by dung | 18/10/2009, 08:46
  11. tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

    Số lượt thích

    Posted by thu | 14/10/2009, 16:30
    • Nếu ma trận của hpt là ma trận vuông thì thì hệ có nghiệm duy nhất khi detA khác không, nếu A là ma trận bất kỳ thì hệ có nghiệm duy nhất khi hạng của A bằng đúng số ẩn của hpt.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 14/10/2009, 20:41
  12. Xin hỏi còn phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thì như thế nào? Có thể hướng dẫn cho tôi được không?

    Số lượt thích

    Posted by Trần Công Tuấn | 14/10/2009, 06:15

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 759 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
Advertisements
%d bloggers like this: