Định thức (Determinants)

(Bài này tiếp cận khái niệm định thức theo cách không chính quy nhằm tránh đề cập đến khái niệm phép thế, vốn là một khái niệm khá khó hiểu đối với những ngành ứng dụng, không chuyên Toán)

I. Các khái niệm cơ bản về định thức:

1. Định nghĩa định thức: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K) . Định thức ma trận A (ký hiệu det A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :

det(A) = |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}.A_{12} + ... + a_{1n}.A_{1n}

trong đó: A_{ik} = (-1)^{i+k} .det(M_{ik}) , M_{ik} là ma trận vuông cấp n – 1 nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng A_{ik} được gọi là phần bù đại số của a_{ik}

2. Nhận xét:

A = (a_{11}) \Rightarrow det A = a_{11}

A \in M_2(K):

detA = { \left | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right | } = a. (-1)^{1+1}.d + b.(-1)^{1+2}.c = ad - bc

A \in M_3(K):

detA = { \left | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right | } = a.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \\ \end{array} \right | } + b.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \\ \end{array} \right |} \\+c(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \\ \end{array} \right|} = a(ei-hf) - b(di-fg)+c(dh-eg) \\ = (aei+bfg+cdh)-(ahf+bdi+ceg)

– Từ kết quả trên ta có quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau:

Quy tắc Sarrus
Quy tắc Sarrus

Ví dụ 1:

detA = { \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right | } = 2.1.2+3.2.1+3.4.1-1.1.1-2.4.2-3.3.2 \\ = -13

det1

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn có 1 quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3:

– Ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình.


A \in M_4(K) : không có quy tắc tính như định thức cấp 2 và định thức cấp 3, mà phải dùng định nghĩa để tính trực tiếp.

Ví dụ 2:

detA = { \left | \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 2 &-1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }

= 1.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } + 3.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } \\ +0.(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }+2.(-1)^{1+4}{ \left | \begin{array}{ccc} 4& 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{array} \right | }

(các bạn tính tiếp nhé)

3. Định lý:

Với ma trận vuông cấp n n \ge 2 ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ theo các công thức sau:

– Theo dòng i: det(A) = |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}.A_{i2} + ... + a_{in}.A_{in}

– Theo cột j: det(A) = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}.A_{2j} + ... + a_{nj}.A_{nj}

Với A_{ij} là phần bù đại số của phần tử a_{ij} được xác định như trên

Ví dụ: Tính

detA = { \left | \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right | }

Nhận thấy dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nến ta khai triển theo dòng 2. Ta có:

detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }

Vậy: detA = -2(30+6-12-8) - (16+16-40-4) =-20

Ngoài ra, ta cũng nhận thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo cột 2. Ta có:

detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }

Vậy: detA = -2(30+8-8-20)+(4+24-16-12)=-20

Nhận xét: Giá trị của định thức của ma trận A là duy nhất.

Thảo luận

83 thoughts on “Định thức (Determinants)

  1. thầy ah thầy dạy cho em rõ hơn các phương pháp tính hạng của ma trận được không ah.và cách biến đổi các ma trận nữa

    Số lượt thích

    Posted by lancute nguyên | 07/01/2012, 15:05
  2. thầy có thể hướng dấn giúp em phương pháp tính định thức bằng phương pháp LAPLACE được ko a

    Số lượt thích

    Posted by le van tuan | 14/12/2011, 16:55
  3. thầy ơi , e mới học ko rõ lắm . minh biến đổi 1 ma trận thì mình co được biến đổi dòng (bằng phep biến đổi sơ cấp ) , rồi minh tiếp tục biến đổi cột được không ạ ( tương tự trong tìm hạng ma trận biến đổi dòng rồi biến đổi cột trong cùng 1 ma trận ) ???

    Số lượt thích

    Posted by Ngọc | 23/11/2011, 11:28
  4. thầy giúp em bài nữa này nha thầy. em cảm ơn thầy
    \left(\begin{array}{ccc} 1 & m & m \\ m & 1 & m \\ m & m &1 \\ \end{array} \right)
    biện luận theo m hạng của ma trận.

    Số lượt thích

    Posted by tram | 12/11/2011, 16:22
  5. thầy giải bài này giúp em được không ạ!
    tính định thức
    \left|\begin{array}{ccccc} 1+a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_n \\ a_1 & 1+ a_2 & a_3 & \ldots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_3 + 1 & \ldots & a_n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & 1+a_n \\ \end{array} \right|

    Số lượt thích

    Posted by tram | 12/11/2011, 16:15
  6. vậy là khi đem lấy dòng J nhân với số k nào đó rồi công với dòng i thì e phải giữ nguyễn dòng J chỉ biến đổi dòng i phải không thầy. còn phương pháp biến đổi của em là đúng a.
    em cảm ơn thầy. em đọc đi đọc lại không biết sai điểm gi. có rất nhiều bài em tính không ra đáp án vì cái lỗi này.

    Số lượt thích

    Posted by tuanson | 09/11/2011, 12:57
  7. THẦY CHO EM HỎI.1 MA TRẬN CẤP 4. Bước 1: LẤY C4-C1 Bước 2: lấy định thức sau biến đổi đem d2 x 2 rồi đem cộng với d1 có được không a? em biên đổi theo 2 cách. Cách 1 em chỉ biến đổi đến bước 1 ra đúng kết quả bằng -9 nhưng khi tiếp tục làm theo cách thứ 2 là thêm bước 2 thi ra -18.
    Định thức:
    \left|\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 5 & 4 \\ -5 & 7 & -9 & -6 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 7 & 2 \\ \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 5 & 2 \\ -5 & 7 & -9 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & 0 \\ \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 5 & 2 \\ -8 & 11 & -13 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & 0 \\ \end{array} \right|

    Bước 1: det = -2.A14 – A24 = -9
    Bước 2: det = -2.A14 = -18
    Đây là câu b bài 23 Chương 3 Toán cao cấp 1 Trường ĐH Kinh Tế Quốc Dân.
    Thầy & các bạn ai có thể giúp minh xem mình bi sai lỗi nào thế. Mình sắp KTra giữa kỳ rồi.

    Số lượt thích

    Posted by tuanson | 09/11/2011, 08:17
    • Em đã sử dụng sai tính chất của định thức: cộng vào dòng i k lần dòng k. (di: = di + k.dj). Nghĩa là dòng đem nhân phải giữ nguyên. Ở đây, em đã biến đổi d2 := 2d2 + d1. Điều này tương đương với 2 phép biến đổi:
      1. d2: = 2d2
      2. d2 := d2 + d1
      Sau phép biến đổi thứ nhất, định thức đã tăng lên 2 lần.
      Chính vì vậy, nếu dùng cách 1 thì em ra -9, còn cách 2, kết quả đã bị tăng thêm 2 lần.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 09/11/2011, 10:16
  8. thầy hộ em tý nha, cái định thức này em tính mãi chua ra
    x a b c …….. m n
    a x b c …….. m n
    …….
    a b x c …….. m n
    a b c d ……… x n
    em vít định thức trên máy tính không tốt lắm mong thầy thông cảm.

    Số lượt thích

    Posted by dinh | 26/10/2011, 21:30
    • Dựa vào quy luật cho ma trận trên thì đây là ma trận vuông cấp 15. Vì trên các dòng đều chứa x, a, b, c, d, …, m, n nên thực hiện pbdsc: c1:= \sum c_i (cộng tất cả các cột vào cột 1). Khi đó cột 1 có nhân tử chung là (x + a + b + c +… + m + n). Vậy:
      (x+a+b+c+...+m+n) \left|\begin{array}{ccccccc} 1 & a & b & c & \ldots & m & n \\ 1 & x & b & c & \ldots & m & n \\ 1 & b & x & c & \ldots & m & n \\ 1 & b & c & x & \ldots & m & n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & b & c & d & \ldots & x & n \\ 1 & b & c & d & \ldots & n & x \\ \end{array} \right|
      Khi đó, lần lượt biến đổi di bằng pbdsc di:=di-d1 (i = 2,3,..., 15) ta có:
      (x+a+b+c+...+m+n) \left|\begin{array}{ccccccc} 1 & a & b & c & \ldots & m & n \\ 0 & x-a & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & b-a & x-b & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & b-a & c-b & x-c & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & b-a & c-b & d-c & \ldots & x-m & 0 \\ 0 & b-a & c-b & d-c & \ldots & n-m & x-n \\ \end{array} \right|
      Khai triển định thức theo cột 1. Ta sẽ được định thức cấp 14 mà ma trận là ma trận tam giác dưới. Vì vậy, dễ dàng có được kết quả là:
      (x + a + b + …. + m + n)(x-a)(x-b)(x-c)….(x-m)(x-n)

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 31/10/2011, 14:48
  9. cách này hay đấy! ai mà nghĩ được nhỉ? Verry good!

    Số lượt thích

    Posted by lê hữu diện | 20/10/2011, 11:28
  10. \left|\begin{array}{rrrrr} 2 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right|
    Thầy tính thử hộ em xem ra bao nhiêu. Em biến đổi mỗi kiểu lại ra một đáp số. Biến đổi ít bước đi lại đúng đáp số. Mà tất cả mấy cách trên, em kiểm tra rất kĩ và ko sai. tại sao kết quả lại khác nhau a.

    Số lượt thích

    Posted by Tungkoy | 18/10/2011, 09:32
    • Tính:
      A = \left|\begin{array}{rrrrr} 2 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right|
      Đổi chỗ dòng 1 và dòng 2. Ta có:
      A = - \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right|
      Lần lượt thực hiện các pbdsc: d2:=d2 + 2d1; d3:=d3+d1; d4:=d4+2d1; d5:=d5+d1. Ta có:
      A = - \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 7 & 7 \\ 0 & 5 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 3 & 7 & 5 & 8 \\ 0 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ \end{array} \right|
      Thực hiện d2:= d2 – d4; d5:=d5-d4
      A = - \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 3 & 7 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & -6 & 0 & -4 \\ \end{array} \right| = 2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 3 & 7 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ \end{array} \right|
      Tiếp tục thực hiện pbdsc d3:=d3 + 5d2; d4:= d4+ 3d2
      A = 2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -8 & 11 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ \end{array} \right|
      Đổi chỗ d3 và d4:
      A = -2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & 5 \\ 0 & 0 & -8 & 11 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ \end{array} \right|
      Lại thực hiện pbdsc: d4:=d4 + 8d3; d5:=d5-3d3
      A = -2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 99 & 43 \\ 0 & 0 & 0 & -33 & -13 \\ \end{array} \right| = 2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -33 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 99 & 43 \\ \end{array} \right|
      Cuối cùng, thực hiện pbdsc: d5:=d5 + 3d4
      A = 2 \left|\begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -33 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right| = 2.(-1).(-1).1.(-33).(4) = -264
      Định thức của ma trận là duy nhất nên kết quả các lần tính là như nhau. Nếu em kiểm tra kỹ mà không sai thì chắc chắn em đã áp dụng sai các tính chất về định thức của ma trận.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 20/10/2011, 21:03
    • rất mong bạn tìm tòi và gởi nhiều bài tập hay nữa nhá.

      Số lượt thích

      Posted by tran van quyen | 10/12/2011, 09:17
  11. hok có cái tính 4 nào hay hơn ah
    mình học có bài về nha đề có kiểu như này : Tìm x thỏa
    \left|\begin{array}{cccc} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \\ \end{array} \right| = 0
    như thế này thì làm thế nào . nhìn đặc biệt mà . có cách nhanh hơn dùng định nghĩa hok , giúp mình vs .
    Tks

    Số lượt thích

    Posted by thanh | 14/10/2011, 21:36
    • Bài này nếu em chú ý tính chất của định thức (nếu 2 dòng (cột) giống nhau hoặc tỉ lệ thì định thức bằng 0) thì sẽ có nhanh kết quả.
      Thay x = 2 thì dòng 1 và dòng 2 tỉ lệ. Tương tự x = 3, x = 4.
      Ngoài ra, nếu chú ý, nếu khai triển thì sẽ có pt bậc 3 (pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm) nên x = 2; x = 3; x= 4 là nghiệm của pt.
      Nếu dùng pbdsc, em cũng dễ dàng có được kết quả: Thực hiện pbdsc: di -> di – d1
      \left|\begin{array}{cccc} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \\ \end{array} \right| = \left|\begin{array}{cccc} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 0 & 2-x & 4-x^2 & 8-x^3 \\ 0 & 3-x & 9-x^2 & 27-x^3 \\ 0 & 4-x & 16-x^2 & 64-x^3 \\ \end{array} \right|
      = (2-x)(3-x)(4-x) \left|\begin{array}{cccc} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 0 & 1 & 2+x & 4+2x+x^2 \\ 0 & 1 & 3+x & 9+3x+x^2 \\ 0 & 1 & 4+x & 16+4x+x^2 \\ \end{array} \right| =\ldots

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 16/10/2011, 17:27
  12. thay oi sao em tinh dinh thuc cap 5 de dua dong hoac cot ve nhieu 0 cuoi cung lai sai ket qua
    lieu dinh thuc bien doi nhieu se bi sai lech ko a. em chi bien doi theo tinh chat 7. la nhan tat ca cac phan tu cua dong roi cong tuong ung vao dong khac thoi. giup em voi. em dang loan het roi day

    Số lượt thích

    Posted by tungkoy | 09/10/2011, 16:11
    • Chắc chắn trong quá trình biến đổi, em đã sai ở 1 bước nào đó, chứ định thức của mỗi ma trận là duy nhất. Thầy không rõ là em đã biến đổi sai chỗ nào nên không hướng dẫn cụ thể cho em được.

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 16/10/2011, 22:10

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 771 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: