(Bài này tiếp cận khái niệm định thức theo cách không chính quy nhằm tránh đề cập đến khái niệm phép thế, vốn là một khái niệm khá khó hiểu đối với những ngành ứng dụng, không chuyên Toán)

I. Các khái niệm cơ bản về định thức:

1. Định nghĩa định thức: Cho . Định thức ma trận A (ký hiệu det A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :

trong đó: là ma trận vuông cấp n – 1 nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng được gọi là phần bù đại số của

2. Nhận xét:

–

–

–

– Từ kết quả trên ta có quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau:

Ví dụ 1:

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn có 1 quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3:

– Ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình.

– : không có quy tắc tính như định thức cấp 2 và định thức cấp 3, mà phải dùng định nghĩa để tính trực tiếp.

Ví dụ 2:

(các bạn tính tiếp nhé)

3. Định lý:

Với ma trận vuông cấp n ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ theo các công thức sau:

– Theo dòng i:

– Theo cột j:

Với là phần bù đại số của phần tử được xác định như trên

Ví dụ: Tính

Nhận thấy dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nến ta khai triển theo dòng 2. Ta có:

Vậy:

Ngoài ra, ta cũng nhận thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo cột 2. Ta có:

Vậy:

Nhận xét: Giá trị của định thức của ma trận A là duy nhất.