Định thức (Determinants)

II. Các tính chất của định thức:

1. det(A) = det(A^T)

2. Nếu A là ma trận tam giác trên (dưới) thì định thức của nó bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo chính.

3. Khi nhân 1 số a vào 1 dòng (cột) nào đó thì định thức sẽ tăng lên a lần. Nghĩa là: có thể rút nhân tử chung của 1 dòng (cột) ra ngoài định thức.

4. Nếu ma trận A có 1 dòng không (cột không) thì detA = 0

5. Nếu các phần tử của dòng i của ma trận A có dạng a_{ij} = b_j + c_j thì detA = detB + detC (với B, C là ma trận có được từ A bằng cách thay dòng i của A bởi các giá trị bj và cj tương ứng). Nghĩa là:

{ \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & ... & b_n+c_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |} \\ = { \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_1 & b_2 & ... & b_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |} + { \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_1 & c_2 & ... & c_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |}

(các tính chất trên được suy trực tiếp từ định nghĩa)

6. Nếu ma trận có hai dòng (cột) bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0.

7. Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) bất kỳ thì định thức đổi dấu.

8. Định thức không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) nào đó m lần dòng (cột) khác. (Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính chất 4 và tính chất 5)

Các ví dụ áp dụng:

1. {\left | \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b\\ \end{array} \right| } = {\left | \begin{array}{ccc} 1 & a+b+c & b + c \\ 1 & b+c+a & c+a \\ 1 & c+a+b & a+b\\ \end{array} \right| } = 0

(do cột 1 và cột 2 tỉ lệ nhau)

2. {\left | \begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Cộng tất cả các dòng 2, 3, 4 vào dòng 1 ta có:

{\left | \begin{array}{cccc} a+3 & a+3 & a+3 & a+3 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Rút nhân tử chung (a+3) ở dòng 1 ra ta được:

= (a+3){\left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, chuyển ma trận về dạng bậc thang bằng cách di:=di-d1(i = 2,3,4) . Ta có:

= (a+3){\left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \\ \end{array} \right| } = (a-3)(a-1)^3

– Bạn có thể ôn tập lại bằng cách tham gia trả lời 10 câu hỏi trắc nghiệm liên quan tại đây

III. Các phương pháp tính định thức:

1. Định thức cấp 3: Sử dụng quy tắc Sarrus hoặc dùng định nghĩa chuyển về định thức cấp 2.

2. Khai triển theo 1 dòng (cột): nếu trên dòng (cột) đó có chứa nhiều phần tử bằng 0.

Ví dụ: \left | \begin{array}{rrrr} 3 & -2 & 5 & 7 \\ 4 & 5 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|

3. Chuyển về ma trận tam giác: dùng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận cần tính định thức về dạng ma trận bậc thang. Trong quá trình biến đổi cần chú ý các tính chất của định thức.

4. Sử dụng định lý Laplace: khai triển theo k hàng (cột)

Cho A là ma trận vuông cấp n. Và giả sử chọn k dòng tùy ý.

Khi đó: detA = \sum D(k).A(k)

trong đó: D(k) là các định thức con cấp k được tạo bởi k dòng đã chọn, A(k) là phần bù đại số tương ứng của D(K) trong A.

Ví dụ: detA = \left | \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 4 & 8 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 6 & 2 \\ \end{array} \right|

Do dòng 1 và dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nên ta chọn khai triển định thức theo 2 dòng 1, 2. Các định thức con cấp 2 được lập bởi 2 dòng trên là:

{\left | \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 8 \\ \end{array} \right | } , {\left | \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right | } , {\left | \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 8 & 1 \\ \end{array} \right | }

Vậy : detA = {\left | \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 8 \\\end{array} \right|}((1)^{1+2+1+2}{\left | \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 2 \\ \end{array} \right | }

+ {\left | \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right | }(-1)^{1+2+1+5}{ \left | \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 8 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 6 \\ \end{array} \right | } + {\left | \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 8 & 1 \\ \end{array} \right | }(-1)^{1+2+2+5}{\left | \begin{array}{rrr} 6 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ \end{array} \right | }

Tới đây, coi như ta có kết quả. Bạn thử tính tiếp xem bằng bao nhiêu nhé.

5. Phương pháp truy hồi: Biến đổi, khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột sao cho có thể biểu diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn. Đẳng thức này gọi là hệ thức truy hồi (truy toán). Sau đó, tính biểu thức của vài định thức cấp thấp; từ đó đoán nhận biểu thức tổng quát của định thức cấp n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Cũng có thể tìm biểu thức tổng quát bằng cách khác. Trong hệ thức truy hồi của định thức cấp n, ta thay định thức cấp n-1 bởi biểu thức của nó ( tính được theo công thức truy hồi bằng cách thay n bởi n-1), thay định thức cấp n-2 bằng biểu thức của nó, …, cho đến khi tìm được biểu thức tổng quát của định thức cấp n.

Ví dụ: Tính định thức:

D_n = \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ x & x& x& ... & a_n \\ \end{array} \right |

Viết phần tử ở dòng cuối, cột cuối dưới dạng a_n = x + (a_n - x) ta có thể tách D_n thành tổng của 2 định thức:

D_n = \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ x & x& x& ... & x \\ \end{array} \right | + \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0& 0& ... & a_n-x \\ \end{array} \right |

Trong định thức thứ nhất ta nhân cột cuối với -1 rồi cộng lần lượt vào các cột còn lại, ta sẽ có:

D_n = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) + (a_n-x)D_{n-1}

Đây là hệ thức truy hồi. Trong hệ thức này, ta thay \mathop D_{n-1} bởi công thức tương tự:

D_{n-1} = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x) + (a_{n-1}-x)D_{n-2}

Do đó: D_n = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) \\ + (a_n-x)x.(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x) \\+D_{n-2}(a_{n-1}x)(a_n-x)

Lặp lại lý luận đó n-1 lần và chú ý rằng \mathop D_1 = a_1 = x + (a_1-x) ta sẽ được:

D_n=x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) \\ +x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x)(a_n-x)+...+ \\ x(a_2-x)...(a_n-x)+(a_1-x)(a_2-x)...(a_n-x)

= x(a_1-x)(a_2-x)...(a_n-x) \left( { \dfrac{1}{x}} +{ \dfrac{1}{a_1-x}} + ... + { \dfrac{1}{a_n-x}} \right)

6.Một số định thức có thể được tính dễ dàng bằng cách khai triển chúng thành tổng các định thức cùng cấp theo hàng (theo cột)

Ví dụ:Tính định thức:

D_n = \left | \begin{array}{cccc} a_1+b_1 & a_1+b_2 & ... & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & ... & a_2+b_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_n+b_1& a_n+b_2 & ... & a_n + b_n \\ \end{array} \right |

Với định thức dạng này ta có thể khai triển định thức theo cột 1, mỗi một trong hai định thức sau lại có thể khai triển được thành hai định thức theo cột thứ hai… Cứ thế khai triển cho đến cột cuối cùng ta sẽ có \mathop 2^n định thức.

Trong phép khai triển này, các cột của các định thức thành phần hoặc có dạng \mathop a_1,a_2,...,a_n hoặc có dạng \mathop b_i,b_i,...,b_i Hai cột thuộc dạng đầu bằng với nhau, hai cột thuộc dạng sau tỉ lệ với nhau. Với n>2, trong mỗi định thức có ít nhất hai cột cùng loại nên phải triệt tiêu nhau. Vậy \mathop D_n = 0 , n > 2 . Hơn nữa, D_1 = a_1+b_1

D_2 = \left| \begin{array}{cc} a_1+b_1 & a_1+b_2 \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right | = \left| \begin{array}{cc} a_1 & a_1+b_2 \\ a_2 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & a_1+b_2 \\ b_1 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right |

D_2 = \left| \begin{array}{cc} a_1 & a_1 \\ a_2 & a_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} a_1 & b_2 \\ a_2 & b_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & a_1 \\ b_1 & a_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{array} \right | \\ = (a_1-a_2)(b_2-b_1)

7. Phương pháp thay đổi các phần tử của định thức: Phương pháp này dựa trên tính chất sau: Nếu ta cộng vào mọi phần tử của định thức D cùng một phần tử x thì định thức sẽ tăng thêm một lượng bằng tích của x với tổng các phần phụ đại số của mọi phần tử trong D. Thật vậy, giả sử:

D = \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right | , D' = \left | \begin{array}{ccc} a_{11}+x & ... & a_{1n}+x \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} +x & ... & a_{nn} +x \\ \end{array} \right |

Khai triển D’ thành hai định thức đối với hàng thứ nhất, mỗi định thức mới nhận được khai triển thành 2 định thức đối với hàng thứ hai, …. Các phần tử chứa từ hai hàng toàn bằng x thì bằng 0. Còn các định thức chỉ chứa 1 hàng phần tử đều bằng x được khai triển theo hàng này. Khi đó, ta có:

D' = D + x \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij}

Vậy việc tính định thức D’ được đưa về việc tính định thức D và tổng các phần phụ đại số của nó.

Thảo luận

83 thoughts on “Định thức (Determinants)

  1. thầy ơi giải giúp e bài định thức này với
    1 2 3 4 …15
    2 1 2 3 …14
    3 2 1 2 …13
    .. .. .. .. … ..
    15 14 13 12 ..1

    Số lượt thích

    Posted by phước | 15/01/2015, 10:29
  2. thấy ơi ma trận vuông cấp bốn có cách tính nhanh theo laplace là lấy ma trận vuông cấp 2 trên góc trái định thức nhân cho ma trận vuông cấp hai dưới góc phải định thức , thì cái cách đó nó có cần điều kiện gì ko thấy , em cảm ơn

    Số lượt thích

    Posted by trần anh tùng | 27/11/2013, 23:31
    • Em chỉ có thể dùng định lý Laplace như ở trên nếu các phần tử ở a31, a32, a41, a42 đều bằng 0 (hoặc các phần tử a13, a14, a23, a24 đều bằng 0.
      Nghĩa là: định thức của ma trận A phải có dạng:
      \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right |
      Hoặc:
      \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right |

      Số lượt thích

      Posted by 2Bo02B | 01/12/2013, 19:35
  3. bạn chỉ cần cộng c1 với các cột còn lại tạo cột c1.đạt (1+a1+..+an) ra ngoai .được cột 1 toàn 1.thi trư cột k(k từ 2 đến n) cho ak .c1 là xong.

    Số lượt thích

    Posted by hkt | 10/02/2012, 17:41

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 771 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…
%d bloggers like this: