Dạng toàn phương

1. Khái niệm dạng toàn phương:

1.1 Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến $\mathop x_1,x_2,...,x_n$ là một hàm bậc hai dạng:

$f(x) =f(x_1,x_2,...,x_3) = a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+ ... + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \\ 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$ (1)

với các hệ số $\mathop a_{ik}$ là các số thực và các biến $x_i$ là các biến thực.

Nếu ta ký hiệu:

$x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ { \vdots} \\ x_n \\ \end{array} \right] , A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & { \ldots} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & { \ldots} & a_{2n} \\ { \ldots} & { \ldots} & { \ldots} & { \ldots} \\ a_{n1} & a_{n2} & { \ldots} & a_{nn} \\ \end{array} \right] , a_{ik} = a{ki}$ , chú ý A là ma trận đối xứng.

Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau: $f(x) = x^TAx (2)$ (các bạn có thể kiểm tra bằng cách nhân trực tiếp)

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng.

Ví dụ 1: Cho hàm bậc hai $\mathop f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 6x_1x_2$ . Rõ ràng, f(x) là dạng toàn phương. Ma trận A có dạng: $A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & -3 \\ -3 & 2 \\ \end{array} \right]$

Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai $\mathop g(x) = 2x_1^2 - 3x_2^2 - x_1x_2 + 8x_1x_3$ . Rõ ràng, g(x) là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng: $A = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & -{ \dfrac{1}{2}} & 4 \\ -{ \dfrac{1}{2}} & -3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

1.2 Dạng toàn phương chính tắc:

Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu thức xác định không chứa các tích $\mathop x_ix_j$ mà chỉ chứa các số hạng bình phương $x_i^2$

Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo.

Ví dụ: $f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2$ là 1 dạng toàn phương chính tắc.

2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

2.1 Phương pháp ma trận trực giao:

Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.

Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực, và các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó, nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta có: $P^*AP = D$ (trong đó $P^* = P^T = P^{-1}$ ). Vậy có thể chuyển A về dạng chéo , nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc

Định lý:

Cho dạng toàn phương $\mathop f(x) =x^TAx$ , với A là ma trận vuông đối xứng cấp n với các giá trị riêng ${\lambda}_1,{\lambda}_2 ,..., {\lambda}_n$ và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A: $P^T.A.P = D$

Khi đó, bằng cách đổi biến $x = Py$ ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc sau:

$f(x) = x^TAx = \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j = {\lambda}_1y_1^2+{\lambda}_2y_2^2+... +{\lambda}_ny_n^2$

Chứng minh:

Thật vậy ta đặt : $x = Py \Rightarrow y = P^{-1}x = P^Tx$

Ta có: $f(x) = x^TAx = (P.y)^TAPy = y^T.P^T.A.P.y = y^T.D.y$

Rõ ràng $y^T.D.y = {\lambda}_1y_1^2+{\lambda}_2y_2^2+... +{\lambda}_ny_n^2$

Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thực hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.

Ví dụ: Cho dạng toàn phương $\mathop 2xy + 2xz + 2yz$

Ma trận của dạng toàn phương là: $A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riêng ${\lambda}_1 = -1 , {\lambda}_2 = 2 , {\lambda}_1$ là nghiệm kép.

Với ${\lambda}_1 = -1$ Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình: $(A -{\lambda}_1.I_3)X = 0$

Hay ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c} x+y+z=0 \\ x+y+z = 0 \\ x+y+z = 0 \\ \end{array} \right.$

Từ đó : VTR có dạng: $u = (-a-b,a,b) , a^2+b^2 \ne 0$ và ta có 2 VTR độc lập tuyến tính là: $u_1 = (1, -1,0) , u_2 = (1,0,-1)$

Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:

$c_1 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ -{ \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ 0 \\ \end{array} \right] , c_2 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\ { \dfrac{2}{\sqrt{6}}} \\ \end{array} \right]$

Với ${\lambda}_1 = 2$ Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình: $(A -2.I_3)X = 0$

Hay ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c} -2x+y+z=0 \\ x-2y+z = 0 \\ x+y-2z = 0 \\ \end{array} \right.$

Giải hệ này ta được VTR có dạng: $u = (a,a,a) , a \ne 0$ và ta có 1 VTR độc lập tuyến tính là: $u_3 = (1, 1,1)$ . Rõ ràng, $u_3 \perp u_1, u_2$

Chuẩn hóa vectơ $u_3$ ta có: $c_3 = \left[\begin{array}{r} { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ \end{array} \right]$

Vậy dạng toàn phương chính tắc là: $-x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2$

Và ma trận P có dạng: $P = \left[ \begin{array}{ccc} { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ -{ \dfrac{1}{\sqrt{2}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ 0 & { \dfrac{2}{\sqrt{6}}} & { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ \end{array} \right]$

Và công thức đổi biến là: $\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right] = P^T . { \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right]}$

Hay: $\left\{\begin{array}{l} x_1 = { \dfrac{1}{\sqrt{2}}} (x - y) \\ x_2 = { \dfrac{1}{\sqrt{6}}} (x+y+2z) \\ x_3 = { \dfrac{1}{\sqrt{3}}} (x+y+z) \\ \end{array} \right.$

Nhận xét: phương pháp trực giao hóa đòi hỏi phải tìm các giá trị riêng. Đây là việc khá khó khăn đối với phương trình bậc cao không có nghiệm đặc biệt. Do vậy, phương pháp này thường chỉ áp dụng cho dạng toàn phương 2 biến, 3 biến hoặc 4 biến. Tuy nhiên, phương pháp này sẽ đặc biệt hữu dụng khi chúng ta nghiên cứu các đường và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Thảo luận

23 bình luận về “Dạng toàn phương”

uhm,đúng rồi, minh cũng học là nhân P thôi hà,
mà ban có biết sao mà c2 sao ra vậy không?tai sao lại là căn 6?mà u2 như thế sao lại trực giao ra như thế?

ThíchThích

Posted by Tien Đat | 19/01/2012, 20:08

Reply to this comment
Ở phần (x1, x2,x3)=Pt(x,y,z) viết khác trong giáo trình em hoc. Giáo trình chỉ viết là nhân P thôi.

ThíchThích

Posted by Hướng | 04/01/2012, 10:38

Reply to this comment
thua thay!thay co the giang cho em phan ung dung cua dang toan phuong trong toan hoc va trong kinh te duoc khong ah!
em chan thanh cam on thay!

ThíchThích

Posted by nguyen mai | 24/11/2011, 21:27

Reply to this comment
Thưa thầy thầy có thể cho e biết được trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ để được hệ trực chuẩn là như thế nào ah? thầy có thể lấy cho e ví dụ cụ thể được không ah? E xin chân thành cảm ơn !

ThíchThích

Posted by anh duong | 11/08/2011, 12:22

Reply to this comment
thưa thầy thầy có thể cho e biết được điều kiện để một ma trận là trực giao k ạ!! e xin chân thành cảm ơn!
ví dụ như ma trận này ạ
( 2/3 -2/3 1/3)
( 2/3 1/3 -2/3)
( x y z )

ThíchThích

Posted by hoàng kim cương | 07/06/2011, 01:16

Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Maths 4 Physics & more…

Tìm