Bài giảng, Lịch sử Toán học

0 lũy thừa 0 (0^0) bằng mấy?

Shortlink: http://wp.me/p8gtr-1cp

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “00 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời 00 = 1! Cũng có bạn cho rằng 00 = 0 (do 0n = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê 0^0 là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 00 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau:

\dfrac{x^b}{x^c} = x^{b-c}

Nên: 1 = \dfrac{x^b}{x^b} = x^{b-b} = x^0

Do đó: 0^0 = \dfrac{0^b}{0^b} = 1

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: \dfrac{0^b}{0^b} = \dfrac{0}{0} là dạng vô định.

Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1.

Một số khác thì chứng minh cụ thể bằng cách khảo sát hàm số: y=x^x y = (sinx)^x (x \rm{>} 0). Dựa vào đồ thị của 2 hàm số trên thì rõ ràng: x^x \underset{\Rightarrow}{x \to 0} 1 ; (sinx)^x \underset{\Rightarrow}{x \to 0} 1

Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có: (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^kx^n

Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x = 0, ngoại trừ việc chấp nhận 0^0 = 1 Vì khi đó:

1^n = C_n^0.0^0 + C_n^1.0^1 + C_n^2.0^2 + ... + C_n^n.0^n

Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có: \dfrac{1}{1-x} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^n ; e^x = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}

Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x = 0, nếu không công nhận 0^0 = 1 (vì trong trường hợp x = 0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần S_n = 0^0 , trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).

Do đó, việc đề nghị 0^0 = 1 là điều hợp lý.

Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ 0^0 phải là dạng vô định.

Thật vậy, nếu 0^0 = 1 thì:

\ln{\left( 0^0 \right)} = \ln{1} = 0

Suy ra: 0.\ln{0} = 0 \Rightarrow 0.(-\infty) = 0

Như vậy, nếu 0^0 = 1 thì phải chấp nhận 0.{\infty} = 0 . Đây là điều không thể vì 0.{\infty} là dạng vô định.

Ngoài ra, bằng công cụ L’Hospital – Bernulli, ta có thể khảo sát các giới hạn sau có dạng 0^0 nhưng có các giá trị khác nhau:

\lim\limits_{t \to 0+} t^t = 1 ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^t = 0 ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( {e^{-1/t^2}} \right)^{-t} = +\infty ; \lim\limits_{x \to 0+} \left( e^{-t} \right)^{at} = e^{-a} .

Ngoài ra, nếu sử dụng kiến thức về hàm số nhiều biến cho hàm số f(x,y) = x^y thì hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y) \to (0,0) (do giới hạn tiến đến 0 dọc theo đường x = 0 nhưng giới hạn tiến đến 1 dọc theo đường y = 0). Điều đó chứng tỏ 0^0 là điểm gián đoạn của hàm số x^y .

Do đó, trên quan điểm của giới hạn thì 0^0 là một dạng vô định.

Vậy 0^0 là dạng vô định cũng là điều hợp lý.

Điều này giải thích cho việc vì sao có một số giáo trình Toán học xem 0^0 là dạng vô định nhưng giáo trình khác lại định nghĩa 0^0 = 1. Đó là do tùy trường hợp, tùy hoàn cảnh mà ta có sự điều chỉnh cho thích hợp.

Cũng chính vì những lý do trên, bạn sẽ thấy có những khác biệt giữa các phần mềm Toán học. Nếu như Maple và Mathlab định nghĩa 0^0 = 1 thì Mathematica xem đây là dạng vô định , còn Maxima sẽ báo lỗi.

Như vậy, bài toán 0^0 giúp ta hiểu rằng Toán học không phải lúc nào cũng tuyệt đối mà nhiều lúc ta phải chấp nhận tính tương đối của nó.

——

Bài viết có tham khảo tư liệu từ nguồn: http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

8 thoughts on “0 lũy thừa 0 (0^0) bằng mấy?

  1. em thấy cách lí gải của thầy quá hay.trên đời này làm gì có cái gì là tuyệt đối chứ.toán học cũng không ngoại lệ.hi.i am thắm

    Like

    Posted by tham | 06/10/2011, 01:52
  2. tôi thấy bài viết hay đấy chứ, chả hiểu anh bạn vô danh ấm ức chỗ nào. Có một phương pháp giải toán rất hay là dùng phản ví dụ (xem logic toán rời rạc). Mà nếu đã chỉ được phản ví dụ là xem như giả thiết sai! Toán học có nhiều trường phái, và cách nhìn nhận cùng một vấn đề của họ cũng khác nhau. quan trọng là mình cần gì và chọn lựa cho chính xác.

    Like

    Posted by lion | 11/03/2011, 12:22
  3. “Khi anh công bố kết quả, nếu phát hiện ra điều kiện giả lập của anh không chính xác, thì kết quả sẽ không còn giá trị thực tiễn, có chăng là pp mà anh đã xử lý dựa trên cái sai, có thể dùng được cho cái đúng mà thôi.”
    Em khoái câu trả lời này nhất, thật ra chẳng có cái gì đúng và sai cả. Chẳng qua là kiến thức toán học của mọi người đến đâu và đặt điều kiện giả định cho bài toán mình đang làm đã thấu đáo hay chưa. Với bt 0^0 hãy cho biết cơ số là gì, số mũ là gì, và biến số biến thiên như thế nào như thế ắt hẳn sẽ k có ai phải thắc mắc đâu thưa các thầy

    Like

    Posted by Minh Tuấn | 14/12/2010, 09:35
  4. Trong toán học và những ngành khoa học khác, kể cả trong cuộc sống, khi anh đưa ra kết quả gì, anh cũng đều phải chứng minh. Nhưng việc chứng minh có rất nhiều cách, một trong các cách đó là anh có thể đưa ra phản ví dụ để chứng tỏ nó chưa chính xác.
    Trong toán học, không chỉ bổ đề, định lý, bài toán … mới chứng minh, mà ngay cả khi đưa ra 1 định nghĩa, anh cũng phải khẳng định nó được định nghĩa tốt, tức là nó phải hợp lý.
    Việc đưa ra các ví dụ trên, để thấy rằng việc định nghĩa 0^0 = 1 là không phù hợp với quan điểm của giới hạn, và cách chứng minh là đưa ra phản ví dụ. Vì vậy, nó không phải là võ đoán hay ngụy biện nên không thể kết luận việc đưa ra 1 vài trường hợp cụ thể là suy đoán lung tung như anh kết luận được.
    Ngoài ra, từ những ví dụ trên, giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát khi sử dụng các phần mềm hỗ trợ, để anh biết rằng tại sao nó như thế chứ bài viết không dùng các phần mềm để chứng minh.
    Bên cạnh đó, ko phải anh dùng phần mềm của tôi là anh phải chấp nhận nó có thể không chính xác vì tôi chưa test hết các trường hợp. Việc có test hết các trường hợp hay không chính là lúc viết giải thuật và thuật toán, anh đã lường hết mọi trường hợp có thể xảy ra hay chưa, việc này khác hoàn toàn về bản chất so với việc anh đưa ra giải thuật sai. (việc này giống như việc quốc hội xây dựng các bộ luật trong cuộc sống). Lấy ví dụ, anh xây dựng thuật toán sắp xếp thứ tự, anh không thể viết để chỉ dùng đúng cho dãy có 100 phần tử, còn từ 101 trở lên thì không dùng được. Nó khác với việc giải thuật đúng cho mọi trường hợp, nhưng từ trường hợp 101 trở đi, nó có thể bị lỗi tràn bộ nhớ. Một khi phát hiện trường hợp chưa được xử lý hoặc có lỗ hổng, anh phải có bản nâng cấp hoặc vá lỗi, nhưng nếu vá lỗi riết thì thuật toán của anh sẽ rất cồng kềnh và trở nên khá nặng, bấy giờ buộc lòng anh phải viết phiên bản hoàn toàn mới. Do đó, anh cần được trang bị các kiến thức toán liên quan, nhất là toán rời rạc, đại số máy tính và tối ưu hóa thuật toán. v.v…
    Đó là lập trình ứng dụng, còn đối với lập trình mô phỏng thì lại khác. Lập trình mô phỏng thì anh đã giả lập các thông số đầu. Việc giả lập đó có thể đúng, có thể sai. Giống như anh đưa ra định nghĩa “tốt” và “không tốt”. Khi anh công bố kết quả, nếu phát hiện ra điều kiện giả lập của anh không chính xác, thì kết quả sẽ không còn giá trị thực tiễn, có chăng là pp mà anh đã xử lý dựa trên cái sai, có thể dùng được cho cái đúng mà thôi.

    Like

    Posted by 2Bo02B | 13/10/2010, 14:56
  5. Không thể lấy các trường hợp riêng lẻ rồi suy đoán lung tung thế.
    Anh càng không nên lấy các trường hợp xữ lí 0^0 của các phần mềm hổ trợ tính toán rồi nói họ xữ lí thế này hoặc thế kia được.Chuyện các phần mềm xữ lí riêng lẽ các trường hợp 0^0 giống như anh học hình học phẵng anh phải chấp nhận các tiên đề của ƠCLICK vậy.
    Toán học khác Tin Học ở 1 điểm là trong Tin Học anh đưa ra một thuật toán anh không cần phải chứng minh mà anh phải test thữ bao nhiêu trường hợp cụ thể và anh ghi nhận bao nhiêu trường hợp là đúng anh công bố ra. Người ta dùng phần mềm của anh là người ta sẽ chấp nhận trường hợp sai khi đó là người ta chưa test.
    Còn trong toán học là phải CHỨNG MINH không thể dựa vào các phần mềm được hihih.

    Like

    Posted by Khách | 12/10/2010, 20:46
  6. uhm, có lẽ nền giáo dục của ta còn chưa dạy học sinh cái sai mà chỉ toàn dạy cái đúng nên trong tâm lý tụi em ít khi (chứ ko muốn nói là không có) có tinh thần nghi ngờ khoa học lắm. Em cũng đã từng nghĩ mọi kiến thức tụi em được học thật hoàn mĩ thật logic và thật chính xác. Nhưng giờ thì em biết em đã lầm. hi

    Like

    Posted by Hoang Van Hung | 26/09/2010, 21:14
  7. Hi Thầy gần đây em có đọc cuốn “Định lý cuối cùng của Fermat” em cũng nhận thấy là Toán học không phải là khoa học tuyệt đối như em vẫn nghĩ. Đến tận bây giờ vẫn còn nhiều tranh cãi mà chắc chả bao giờ em hiểu nó có ý nghĩa gì trong sự phát triển của toán học. Hi còn về bài toán này 0^0 hồi phổ thông em có đựoc học trong SGK, theo trí nhớ của em thì hồi đó em học SGK nói là 0^0 không tồn tại. Hi, đọc bài này xong chắc tẩu hỏa quá thầy. hi. Khi nào mà em làm Vật Lý thấy có dạng 0^0 thì chắc phải hỏi thầy xem nó bằng bao nhiêu.

    Like

    Posted by Hoang Van Hung | 25/09/2010, 19:30
    • Hì hì, đáng lẽ Thầy cũng hok viết bài này đâu. Nhưng tại vì khi đi dạy, mấy sinh viên quả quyết rằng ở phổ thông thầy cô dạy 0^0 = 1, thầy cũng xem SGK lớp 11, 12, mà hok thấy nói đến. Khi Thầy đưa phản ví dụ, thì SV bảo pp tính giới hạn bị sai, hỏi sai chỗ nào, điều kiện nào của công thức không sử dụng được thì mấy đứa ko chỉ ra được, nhưng còn ấm ức lắm. Vì vậy, thầy mới viết bài này.
      Thật ra, còn nhiều điều có tính tương đối lắm, ví dụ 2 đt song song không bao giờ cắt nhau, nhưng nếu kéo dài mãi 2 đt đó, biết đâu nó lại bị hút vào lỗ đen nào đó thì sao?
      Hay hình học Euclide thì tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nhưng hình học Lobassepxki thì tổng 3 góc trong 1 tam giác có thể khác 180 độ.
      Hay -1 \le cosx \le 1 , \forall x \in R nhưng cosz ; z \in C có giá trị bất kỳ. Ví dụ: z = -i.\ln(2+\sqrt{3}) \Rightarrow cosz = 2

      Like

      Posted by 2Bo02B | 25/09/2010, 22:06

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Tài trợ cho M4Ps và tracnghiemToan12

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)


Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 715 other followers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.


Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.


Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây


Get Well

%d bloggers like this: