Bài giảng

Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức

Posted by ⋅ ⋅ 12 bình luận
Filed Under  

Trong các bài tính tích phân bất định, hoặc những bài tính tích phân của hàm phức bằng lý thuyết thặng dư, bạn ắt sẽ gặp những dạng phân thức hữu tỷ mà để tính được thì phải chuyển về các phân thức hữu tỷ thật sự (có bậc tử bé hơn bậc mẫu và mẫu số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiêm).

Phương pháp chung của dạng toán này là bạn phải sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Tuy nhiên, nếu làm theo cách này sẽ rất lâu và tốn nhiều công sức.

Này nhé:

Với { \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}} (degP(x) \le 2) thì ta phải phân tích thành:

{ \dfrac{A}{x-x_1}}+{ \dfrac{B}{x-x_2}}+{ \dfrac{C}{x-x_3}}

Sau đó, quy đồng mẫu số rồi đồng nhất hệ số hai vế để xác định các hệ số A, B, C.

Việc làm này rất mất thời gian, và đã có nhiều người cải tiến bằng cách: sau khi quy đồng mẫu số thì cho x những giá trị đặc biệt để xác định A, B, C thay cho việc đồng nhất hệ số. Đây cũng là 1 cách hay. Tuy nhiên, thông qua bài viết này, M4Ps muốn giới thiệu đến các bạn 1 mẹo khác,giúp ta tính nhanh các hệ số mà không cần phải trải qua bước quy đồng mẫu số.

Thật vậy, giả sử :

{ \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}} = { \dfrac{A}{x-x_1}}+{ \dfrac{B}{x-x_2}}+{ \dfrac{C}{x-x_3}}

Để xác định hệ số A, ta chỉ cần che biểu thức (x-x_1) ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: { \dfrac{P(x)}{(x-x_2)(x-x_3)}} (*) . Sau đó thế x = x_1 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số A, hay:

A = { \dfrac{P(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}

Tương tự:

Để xác định hệ số B, ta chỉ cần che biểu thức (x-x_2) ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: { \dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_3)}} (*) . Sau đó thế x = x_2 vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số B, hay:

B = { \dfrac{P(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}}

Tương tự:

C = { \dfrac{P(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}

Ví dụ: \dfrac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}

Che thừa số x ở mẫu số và thế x = 0 vào phân thức ta có: A = { \dfrac{1}{2}}

Tương tự, che thừa số x – 1 ở mẫu số rồi thế x = 1 vào phân thức ta có: B = -3 và che thừa số x-2 lại rồi thế x = 2 vào phân thức ta có: C = \dfrac{5}{2}

Như vậy bạn sẽ có:

\dfrac{2x+1}{x(x-1)(x-2)}= { \dfrac{1}{2x}}-{ \dfrac{3}{x-1}}+{ \dfrac{5}{2(x-2)}}

Tiếp tục nhé: bạn sẽ có ngay:

\dfrac{-3z+4}{z(z+1)(z-2)}= { \dfrac{-2}{z}}+{ \dfrac{7}{3(z+1)}}-{ \dfrac{1}{3(z-2)}}

Bạn thử kiểm tra lại xem, có đúng vậy không nào?

Bằng cách này bạn sẽ thấy rằng việc phân tích phân thức hữu tỷ cũng không quá phức tạp và bạn cũng đã lật tẩy được bí kíp vì sao các Thầy có thể tính toán nhanh đến “chóng mặt” phải không.

About 2Bo02B

Nguyễn Vũ Thụ Nhân (Mr) Lecturer Physics Department. HCMC University of Pedagogy

Thảo luận

12 bình luận về “Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức”

  1. Thầy ơi tại sao ở ví dụ cuối, B = 7/3 ạ ?

    Thích

    Posted by Học sinh | 14/08/2015, 05:53
    Reply to this comment

  2. cám ơn thầy đã chia sẻ

    Thích

    Posted by ღKhỏa Đậu Tử ღ | 29/12/2014, 23:08
    Reply to this comment

  3. wa tuyet

    Thích

    Posted by phanboichau_0901 | 15/01/2009, 17:44
    Reply to this comment

  4. thầy ui lỡ như mấy cái đa thức dưới mẫu nó có nghiệm bội thì có cách nào tính nhanh dc không ạh ?

    Đã thích bởi 1 người

    Posted by moneynghia | 13/01/2009, 22:09
    Reply to this comment

    • nếu mẫu là nghiệm bội thì các bạn phân tích theo ví dụ sau: P(x)/((x^2)*(x+a)) = A/(x^2) + B/x + C/(x+a). Quy đồng rồi đồng nhất hệ số ở tử vế trái và vế phải ta thu được A,B,C. Trường hợp tổng quát hoá cho n bội bậc m các bạn làm tương tự

      Thích

      Posted by Trần Trung Đức | 13/09/2017, 02:16
      Reply to this comment

  5. Thực ra cách này là như sau,đâu tiên nhân 2 vế với (x-x1) sau đó cho x->x1 =>A=P(x1)/(x1-x2)(x1-x3).Tương tự với B,C.

    Thích

    Posted by Nguyễn Khánh Hưng | 12/01/2009, 18:19
    Reply to this comment

  6. Merci beaucoup! Bonne année ! Mais monsier pas moisier, vraiment?

    Thích

    Posted by 2Bo02B | 09/01/2009, 22:37
    Reply to this comment

  7. bon annee’ !!! Moisieur 2BoO2B

    Thích

    Posted by THANH | 09/01/2009, 22:20
    Reply to this comment

  8. tres bon pour nous!!! merci beaucoup (very good for us! thank you very much)

    Thích

    Posted by THANH | 09/01/2009, 22:18
    Reply to this comment

  9. đây gọi là phương pháp giá trị riêng phải ko thầy. Dùng pp này nhanh hơn nhiều,đỡ nhầm lẫn hơn so với đồng nhất hệ số như trên

    Thích

    Posted by Thơm | 08/01/2009, 23:18
    Reply to this comment

    • Vì đây là mẹo nên thật ra Thầy cũng không biết nó là phương pháp gì nữa. Còn gọi là phương pháp giá trị riêng (GTR) thì e là sẽ nhầm lẫn với khái niệm GTR trong ĐSTT

      Thích

      Posted by 2Bo02B | 09/01/2009, 20:47
      Reply to this comment

Bình luận về bài viết này

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Join 2 787 other subscribers

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…